матанал / Chast_3

называют правильной частью ряда Лорана, а ряд

1

X

cn(z z0)n

n= 1

называют главной частью ряда Лорана.

13 Изолированные особые точки

Определение 13.1. Точка a 2 C называется изолированной особой точкой функции f(z); если f голоморфна в некоторой проколотой окрестности V = f0 < jz aj < g; > 0; точки a:

Примеры. Точка a = 0

1)устранимой особой точкой для функции f(z) = sinz z ;

2)полюсом для функции f(z) = z1 ;

3)существенно особой точкой для функции f(z) = e1=z;

4)неизолированной особой точкой для функции f(z) = ctg(z1 ):

111

13.1Описание устранимых особых точек.

Теорема 13.1.1. Для функции f; голоморфной в проколотой окрестности V = f0 < jz aj < g точки a; следующие утверждения эквивалентны:

(1)точка a является устранимой особой точкой;

(2)функция f(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности

V 0 = f0 < jz aj < 0g; 0 > 0; точки a;

(3)коэффициенты cn ряда Лорана функции f в проколотой окрестности V при n = 1; 2; : : : равны нулю, т. е. у ряда Лорана функции f отсутствует главная часть;

(4)можно доопределить функцию f(z) в точке z = a таким образом,

что полученная функция станет голоморфной в полной окрестности U = fjz aj < g точки a:

Доказательство. (1) ) (2): Очевидно.

(2) ) (3): Åñëè

jf(z)j M ïðè 0 < jz aj < 0;

то по неравенствам Коши имеем

jc nj M n ïðè âñåõ n = 1; 2; : : : è âñåõ 2 (0; 0):

Переходя к пределу при ! 0; получим равенство c n = 0 ïðè âñåõ

n= 1; 2; : : : :

(3)) (4): По условию имеем

n=0

Положим f(a) = c0: Тогда равенство (133) будет верно в полной окрестности U = fjz aj < g точки a:

(4) ) (1): Очевидно.

112

13.2Описание полюсов.

Теорема 13.2.1. Точка a является полюсом функции f; голоморфной в проколотой окрестности V = f0 < jz aj < g этой точки, тогда и только тогда, когда главная часть лорановского разложения f в окрестности V содержит лишь конечное число отличных от нуля

членов, т. е.

1

lim g(z) = 0:

z!a

По теореме (13.1.1) функция g голоморфна в полной окрестности U0 = fjz aj < 0g; если доопределить ее в точке a; положив g(a) = 0: Обозначим через N порядок нуля g(z) при z = a: Тогда при 0 < jz aj < 0

будем иметь

g(z) = (z a)N h(z);

где функция h голоморфна в U0 è h(z) 6= 0 ïðè 0 < jz aj < 00: Функия 1=h(z) будет голоморфной в круге U00 = fjz aj < 00g: Разложим ее в

ряд Тейлора

1

h(z) = b0 + b1(z a) + : : : ;

причем b0 = 1=h(a) 6= 0: Тогда

f(z) = (z a) N h(1z) = b0(z a) N + : : : ;

113

что и требовалось доказать. Достаточность. Пусть

1

X

f(z) = cn(z a)n = (z a) N c N + c N+1(z a) + : : : =

n= N

= (z a) N g(z);

где функция g голоморфна в окрестности U = fjz aj < g и g(a) = c N 6= 0: Следовательно,

lim f(z) = 1;

z!a

Определение 13.2. Число N из равенства (134) называется порядком полюса функции f в точке a:

Замечание. Из доказательства теоремы ясно, что функция f(z) имеет полюс в точке a тогда и только тогда, когда функция 1=f(z) голоморфна и равна нулю в этой точке, при этом порядок полюса f(z) в точке a совпадает с порядком нуля функции 1=f(z) в точке a:

13.3Описание существенно особых точек.

Теорема 13.3.1. Функция

голоморфная в проколотой окрестности V = f0 < jz aj < g точки a;

имеет существенную особенность в этой точке тогда и только тогда, когда найдется бесконечно много номеров n 1 таких, что

c n 6= 0;

т. е. в главной части ряда Лорана бесконечно членов, отличных от нуля.

114

Теорема 13.3.2. (Сохоцкого). Если a 2 C - существенно особая точка функции f; то для любого A 2 C можно найти последовательность точек zn ! a такую, что

lim f(zn) = A:

n!1

Доказательство. Пусть A = 1: Согласно теореме (13.1.1) функция f

не может быть ограничена ни в какой проколотой окрестности точки a (иначе точка a была бы устранимой особой точкой для функции f).

Поэтому найдется последовательность zn ! a такая, что f(zn) ! 1 ïðè n ! 1:

Пусть теперь A 2 C: Если в любой окрестности точки a найтется точка z такая, что f(z) = A; то утверждение теоремы очевидно. Если же это не так, то для функции

1 g(z) = f(z) A

точка a является изолированной особой точкой. Точка a не может быть

полюсом или устранимой особой точкой, так как в обоих случаях функция

имела бы предел (возможно бесконечный) при z ! a; что противоречит определению существенно особой точки. Следовательно, точка a - существенно особая точка для функции g(z): Но тогда, согласно первой части доказательства, найдется последовательность zn ! a такая, что

g(zn) ! 1 ïðè n ! 1:

Отсюда следует, что

13.4Бесконечно удаленная точка как особая.

Определение 13.3. Точка a = 1 называется изолированной особой точкой для функции f(z); если в некоторой окрестности fjzj > Rg; R > 0; этой точки функция f голоморфна.

115

Бесконечно удаленная точка может не являться изолированной особой точкой для функции. Так, например, для функции f(z) = 1= sin z

точка a = 1 является предельной точкой ее полюсов.

Тип особой точки a = 1 устанавливает следующее определение, аналогичное определению (13.1).

Определение 13.4. Изолированная особая точка a = 1 называется:

1) устранимой особой точкой функции f(z); если существует

конечный предел

lim f(z) 2 C;

z!1

2) полюсом функции f(z); если существует предел

lim f(z) = 1;

z!1

3) существенно особой точкой функции f(z) во всех остальных

случаях, т. е. когда не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции f в точке a = 1

Замечание. Если точка a = 1 является устранимой особой точкой функцииf(z); то, доопределив функцию в этой точке значением ее предела при z ! 1; причисляют точку a = 1 к точкам голоморфности функции f:

Определение 13.5. Лорановским разложением функции f(z) в окрестности изолированной особой точки a = 1 называют ряд Лорана по степеням z; в который эта функция разложена на множестве

fjzj > Rg; R > 0;

1

X

f(z) = cnzn:

n= 1

Сравнивая определения (13.1) и (13.4), заключаем, что тип особой точки z = 1 функции f(z) совпадает с типом особой точки = 0 для

функции f(1 ): Учитывая связь типа особой точки = 0 с видом лора-

новского разложения функции f(1 ) в окрестности точки = 0; приходим к следующим выводам.

116

Теорема 13.4.1. Пусть

(1) устранимой особой точкой функции f () cn = 0 ïðè âñåõ

n = 1; 2; : : : ;

(2)полюсом функции f () существует N 1 такое, что cN 6= 0; íî cn = 0 ïðè âñåõ n N + 1

(число N называют порядком полюса в 1);

(3)существенно особой точкой функции f () cn 6= 0 для бесконеч- ного множества натуральных n 1:

Âсилу этих результатов главной частью (т. е. частью, определяющей тип особой точки) ряда Лорана функции f в проколотой окрестности 1

является ряд

1

X

f(z) = cnzn;

n=1

а правильной частью - ряд

0

X

f(z) = cnzn:

n= 1

13.5Классификация голоморфных функций по их особым точкам.

Определение 13.6. Функция, голоморфная во всей комплексной плоскости C; называется целой.

Теорема 13.5.1. Если целая функция f(z) имеет в точке z = 1 устранимую особую точку, то функция f является константой в C:

Если целая функция f(z) имеет в точке z = 1 полюс порядка N; то функция f является многочленом порядка N:

117

Доказательство. Если целая функция f(z) имеет в точке z = 1 устранимую особую точку, то функция f ограничена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. при jzj > R: В круге jzj R эта функ-

ция ограничена как непрерывная на ограниченном и замкнутом множестве. Следовательно, f(z) ограничена на всей комплексной плоскости и,

будучи на C голоморфной, является в силу теоремы Лиувилля постоянной, т. е. f(z) = const:

Пусть теперь целая функция f(z) имеет в точке z = 1 полюс порядка N: Обозначим через

N

X

P (z) = cnzn

n=1

главную часть ряда Лорана функции f в поколотой окрестности точки 1: Функция P (z) является многочленом порядка N: Рассмотрим функ-

öèþ

g(z) = f(z) P (z):

Она является целой и имеет устранимую особенность в точке 1: Следовательно, по первой части доказательства функция g является константой, т. е. g(z) = c0 при всех z 2 C: Таким образом,

N

X

f(z) = cnzn:

n=0

Определение 13.7. Целые функции, для которых z = 1 является существенно особой точкой, называются трансцендентными.

Трансцендентными функциями являются, например, функции ez; cos z; sin z:

Используя теорему (13.5.1), нетрудно доказать следующую теорему.

Теорема 13.5.2. (основная теорема алгебры). Всякий многочлен степени n 1

Pn(z) = a0zn + a1zn 1 + : : : + an 1z + an; a0 6= 0;

имеет по крайней мере один нуль.

118

Доказательство. Пусть многочлен Pn(z) не имеет нулей. Тогда функция g(z) = 1=Pn(z) является целой. Так как g(z) ! 0 при z ! 1; то точка 1 является устранимой особой точкой функции g: Согласно тео-

реме (13.5.1) g(z) = const и, следовательно, Pn(z) = const: Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение 13.8. Функция f называется мероморфной в области D C; если она не имеет в D других особенностей, кроме полюсов.

В каждом круге jzj < n; n 2 N; мероморфная функция может иметь

лишь конечное число полюсов. Иначе существовала бы их конечная предельная точка, которая представляла бы собой неизолированную особую точку, что противоречит определению (13.8). Следовательно, мероморфная функция может иметь не более чем счетное множество полюсов.

Примерами мероморфных функций со счетным множеством полюсов будут функции tg z; ctg z; 1= sin z; 1=(ez 1): Рациональная функция, т. е.

отношение двух многочленов, является мероморфной функцией и имеет на расширенной комплексной плоскости лишь конечное число полюсов. Справедливо и обратно утверждение.

Если функция имеет конечное число изолированных особых точек в расширенной комплексной плочкости C и все они - по-

люсы, то эта функция рациональная.

Доказательство. Пусть точки aj; j = 1; : : : ; n; являются полюсами функции f(z) и

главную часть лорановского разложения функции f(z) в окрестности точки z = 1; если эта точка является полюсом. Если z = 1 является устранимой особой точкой, то положим g(z) = 0 при всех z 2 C:

Рассмотрим теперь функцию

n

X h(z) = f(z) g(z) gj(z):

j=1

119

Она является голоморфной во всей расширенной плоскости C; и, следовательно, h(z) = const = c0: Таким образом,

120