матанал / Chast_3

Теорема 3.3.1. (Римана-Лебега). Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]: Тогда

Доказательство. Докажем первое равенство. Второе равенство доказывается аналогично.

Пусть > 0: Построим разбиение отрезка [a; b] точками a = t0 < t1 <

: : : < tn = b; такое, что выполняется условие

n

X

!k(tk tk 1) < =2;

k=1

ãäå !k - колебание функции f на отрезке [tk 1; tk]: Это возможно в силу интегрируемости функции f на отрезке.

Тогда далее имеем

31

Таким образом, при j j > 0 выполняется неравенство jJ( )j < : А это означает, что

lim J( ) = 0:

j j!+1

Следствие. Пусть функция f интегрируема на отрезке [ ; ]: Тогда для ее коэффициентов Фурье справедливы соотношения

ïðè n ! 1:

Замечание. Теорема Римана-Лебега допускает обобщение.

Если функция f определена на промежутке (a; b] (или на (a; b)) и

интеграл

b

Z

jf(t)jdt

a

существует как несобственный, то условие (35) выполняется.

Теорема 3.3.2. (принцип локализации Римана). Пусть функция f 2

R2 : Тогда при любом a 2 (0; ) частная сумма ряда Фурье функции f может быть представлена в следующем виде

32

Доказательство. Представим правую часть равенства (34) в виде суммы двух интегралов

Так как число a в предыдущей теореме можно взять сколь угодно

малым, то эту теорему называют принципом локализации. Другими словами, поведение ряда Фурье функции f в конкретной точке x зависит

только от значений, принимаемых этой функцией в сколь угодно малой окрестности точки x:

Следовательно, если функции f и g равны между собой в некоторой окрестности (x a; x + a) (0 < a < ); то в точке x ряды Фурье этих

функций ведут себя одинаково, т. е. они или оба расходятся, или оба сходятся, причем к одному и тому же числу.

33

3.4Признаки поточечной сходимости рядов Фурье.

Теорема 3.4.1. (признак Дини). Пусть функция f 2 R2 : Если при некотором фиксированном x сходится интеграл

где A - некоторое число, то в этой точке x ряд Фурье функции f сходится и имеет своей суммой число A:

Доказательство. Используя равенство (33), получим

Если сходится интеграл

34

Следствия признака Дини.

1. Пусть функция f 2 R2 и дифференцируема в точке x: Тогда

lim Sn(x) = f(x):

n!1

Доказательство. Согласно признаку Дини нам следует доказать сходимость интеграла

Точка t = 0 является единственной особой точкой для этого интеграла. Имеем

Следовательно, подинтегральная функция в (38) ограничена в правой полуокрестности точки t = 0: Значит, несобственный интеграл

(38) сходится.

2. Пусть функция f 2 R2 и в точке x существуют односторонние левая производная fл0 (x) и правая производная fп0 (x): Тогда

lim Sn(x) = f(x):

n!1

Доказательство. В этом случае

что является конечным числом. Из этого делаем выводы как в пункте 1.

35

3. Пусть функция f 2 R2 и в точке x существуют следующие четыре конечных предела

Доказательство. Возьмем

A = f(x 0) + f(x + 0) 2

и как в предыдущих пунктах придем к выводу о сходимости интеграла (37).

3.5Некоторые особенности рядов Фурье

Ряды Фурье четных и нечетных функций.

Пусть функция f 2 R([ ; ]) является четной. Тогда

Таким образом, ряд Фурье четной функции не содержит синусов крат-

íûõ äóã, ò. å.

1

f(x) a20 + Xan cos nx;

n=1

36

причем коэффициенты a0; an; : : : вычисляются по формулам (39) и(40). Пусть функция f 2 R([ ; ]) является нечетной. Тогда

n=1

причем коэффициенты b1; b2; : : : вычисляются по формуле (44).

Разложение в ряд Фурье на промежутке [0; ]:

Пусть функция f определена и интегрируема на отрезке [0; ]: 1. Построим новую функцию

(

F (x) = f(x); x 2 [0; ];

f( x); x 2 [ ; 0):

Функция F является четной, и согласно предыдущему пункту

1

F (x) a20 + Xan cos nx;

n=1

37

Таким образом, на [0; ]

1

f(x) a20 + Xan cos nx:

n=1

2. Построим функцию

Таким образом, на [0; ]

1

X

f(x) bn sin nx:

n=1

Разложение в ряд Фурье на промежутке [a; a + 2 ]:

При разложении в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [a; a+2 ];

для вычисления коэффициентов в качестве пределов интегрирования следует брать концы этого отрезка.

Разложение в ряд Фурье на промежутке [ l; l]:

Пусть функция f(x) определена на отрезке [ l; l]: Положим x = lt : Эта линейная функция осуществляет взаимно однозначное отображение отрезка [ ; ] на отрезок [ l; l]: Поэтому функция '(t) = f(lt ) определена на отрезке [ ; ]: Поэтому

38

è

n= 1; 2; : : : :

3.6Метод средних арифметических и теорема Фейера.

Метод средних арифметических. Определение 3.6. Рассмотрим числовой ряд

1

X

an: (45)

n=1

n

P

Пусть Sn = ak; è

k=1

n = S1 + S2 + : : : + Sn : n

39

Если существует конечны предел S = lim n; то говорят, что ряд (45)

n!1

суммируется методом средних арифметических и число S называют его обобщенной суммой.

Теорема 3.6.2. Пусть функция f 2 R2 : Тогда верно представление

Доказательство. В силу теоремы Дирихле и определения средних Фейера нам достаточно доказать равенство (48). Согласно формуле (32) име-

40