матанал / Chast_3

[a; b] вещественной оси. Эта функция, как известно, определяет некоторую непрерывную кривую L:

Пусть в некоторой точке t0 2 [a; b] существует производная 0(t0) 6= 0: Рассмотрим последовательность (tn) точек, отличных от t0; которая сходится к точке t0: Обозначим z0 = (t0); zn = (tn): Через точку zn è точку z0 проведем секущую кривой L: Очеводно, что эта секущая параллельна вектору

Поскольку существует предел

То есть в точке z0 к кривой L существует касательная, понимаемая как предельное положение секущих, проходящих через точку z0; è óãîë íà-

клона касательной к действительной оси совпадает с аргументом производной 0(t0):

Пусть теперь функция w = f(z) непрерывна в некоторой области, содержащей кривую L; и в точке z0 имеет производную f0(z0) 6= 0: Тогда функция w = f( (t)) = (t) определяет в плоскости w непрерывную кривую L ; проходящую через точку w0 = f(z0):

По правилу дифференцирования сложной функции функция (t) диф-

ференцируема в точке t0 è 0(t0) = f0(z0) 0(t0) 6= 0: Это означает, что кривая L имеет в точке w0 касательную, угол наклона которой равен

Arg 0(t0) = Arg f0(z0) 0(t0) = Arg f0(z0) + Arg 0(t0):

Отсюда вытекает, что при переходе от кривой L к ее образу L óãîë наклона касательной изменяется на величину

Arg 0(t0) Arg 0(t0) = Arg f0(z0):

Если мы теперь рассмотрим две кривые, проходящие через точку z0: Углом между кривыми в точке z0 называют угол между касательными

71

к этим кривым в точке z0: Согласно предыдущим выкладкам углы на-

клона касательных к этим кривым изменятся на одну и ту же величину Arg f0(z0). Следовательно, угол между образами этих кривых в точке

w0 будет равен углу между самими кривыми в точке z0:

Выясним теперь геометрической смысл модуля производной jf0(z0)j =6 0: С этой целью заметим, что

Следовательно, с точностью до величин более высокого порядка малости, чем j zj; имеет место равенство j wj jf0(z0)jj zj: Поэтому отоб-

ражение f переводит малые окружности с центром в точке z0 в кривые, отличающиеся от окружностей с центром f(z0) на малые более высокого порядка.

Определение 7.5. Дифференцируемое в смысле R2 в точке z0 = x0 +iv0 отображение f = u++iv называется конформным в этой точке, если афинное отображение

сохраняет ориентацию и сохраняет углы .

Можно доказать, что конформность отображения f в точке z0 îçíà- чает C-дифференцируемость f в точке z0 вместе с условием f0(z0) 6= 0:

Определение 7.6. Отображение f называют конформным в области D; если оно взаимно однозначно (т.е. однолистно) и конформно в каждой точке z 2 D:

7.5Голоморфность и конформность отображений расширенной комплексной плоскости.

Определение 7.7. Функцию f : C ! C; определенную в окрестности точки 1 2 C; называют голоморфной (конформной) в точке z = 1;

если функция

g(z) = f z1

72

голоморфна (конформна) в точке z = 0:

Определение 7.8. Функцию f : C ! C; обращающаяся в бесконечность

в точке z0 2 C; называют голоморфной ( конформной) в точке z0; если функция

В частности, если f(1) = 1; то голоморфность f в точке z0 = 1 означает голоморфность функции

G(z) =

1

f(1=z)

â íóëå.

8Элементарные функции в комплексной плоскости

Âэтом разделе мы дадим определения основных элементарных функций комплексного переменного и установим некоторые их свойства. Мы пока не будем касаться свойства непрерывности и дифференцируемости. Позже, изучив свойства суммы степенного ряда, мы вернемся к этим вопросам.

Определение 8.1. Положим по определению для любого z 2 C

73

Определения корректны, так как радиус сходимости каждого ряда

R = 1:

Нам следует убедится в том, что данное определение показательной

функции не противоречит введенному ранее обозначению ei' = cos ' + i sin '; ' 2 R:

Действительно, при x 2 R

= cos x + i sin x:

Более того, при z 2 C

Формулы (86), (87) и (88) называют формулами Эйлера. Остановимся на некоторых свойствах введенных функций.

1. При любых z1; z2 2 C выполняется равенство

74

2.Функция ez периодическая, и ее период T = 2 i: Действительно,

ez+2 i = eze2 i = ez(cos 2 + i sin 2 ) = ez:

3.Функции cos z и sin z имеют период 2 : Это следует из формул Эйлера.

Для этих функций остаются в силе основные тригонометрические

тождества

sin2 z + cos2 z = 1;

cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2;

è ò.ï.

Определение 8.2. Определим функции тангенс и котангенс равен-

а также

ch2 z sh2 z = 1:

75

9Многозначные функции

Самые простые задачи приводят к необходимости рассматривать многозначные функции. Например, уравнение z = wn при любом фиксиро-

ванном z 6= 0 имеет, как нам уже известно, n различных решений. Если каждому числу z 2 E поставлено в соответствие несколько ком-

плексных чисел, обозначаемых w = f(z); то говорят о многозначной функции комплексного переменного, заданной на множестве E: Говорят, что в области D E выделена однозначная ветвь многозначной функции f(z); если в каждой точке этой области выбрано одно из возможных значений многозначной функции f(z); причем так, что полученная однозначная функция является непрерывной в области D:

Многозначная функция может иметь как конечное число ветвей, так и бесконечное. Отметим, что не во всякой области, в которой определена многозначная функция, можно выделить ее однозначную ветвь.

9.1Многозначная функция Arg z:

Âтеории функций комплексного переменного особая роль отводится многозначной функции Arg z: C этой функцией связаны многие другие

многозначные функции: построение однозначных ветвей этих функций определяется выбором значения аргумента комплексного переменного.

Пусть кривая не проходит через точку z = 0: Угол поворота радиусвектора точки z при ее движении вдоль кривой от начальной точки A

до конечной точки B обозначим Arg z:

Найдем формулу для приращения аргумента вдоль кривой. Из формул x = r cos '; y = r sin ' имеем

dx = cos 'dr r sin 'd'; dy = sin 'dr + r cos 'd';

откуда

rd' = sin 'dx + cos 'dy:

Следовательно,

d' = ydx + xdy : x2 + y2

Рассмотрим интеграл от d' вдоль кривой ; равный разности значений аргумента z в конечной и начальной точках кривой ; или приращению аргумента Arg z вдоль : Итак,

76

Свойства приращения аргумента оказались связанными со свойствами криволинейного интеграла, стоящего в равенстве (93) справа. Исходя из свойств криволинейного интеграла, имее следующие свойства приращения аргумента.

1.Arg z = Arg z; где обозначает кривую ; на которой направление обхода изменено на противоположное.

2.Если кривая составлена из двух кривых 1 è 2 так, что конечная точка 1 является начальной точкой 2; òî Arg z = 1 Arg z +2 Arg z:

В криволинейном интеграле в равенстве (93) подинтегральное выражение

выполняется в любой области, не содержащей точки z = 0; то кри-

волинейный интеграл в равенстве (93) в любой такой области не зависит от пути интегрирования. Учитывая это, приходим к следующим свойствам приращения аргумента.

3.1 Arg z = 2 Arg z для любых двух кривых 1 è 2; лежащих в односвязной области D C n f0g и имеющих общие начальную и конечную точки.

4.Приращение аргумента вдоль любой замкнутой кривой в односвязной области D C n f0g равно нулю: Argz = 0:

Если простая замкнутая кривая окружает точку z = 0 и обхо-

дится против часовой стрелки, то значение интеграла равно его циклической постоянной для точки z = 0: Циклическую постоянную в точке z = 0 можно вычислить, взяв в качестве окружность jzj = R: Несложный расчет приводит к значению 2 :

77

5.Приращение аргумента вдоль любой простой замкнутой кривой ; внутренность которой содержит точку z = 0 и которая обходится против часовой стрелки, равно 2 : Arg z = 2 :

Пусть D - односвязная область на комплексной плоскости, не соде-

ожащая точку z = 0: Зафиксируем в этой области некоторую точку z0 è выберем в этой точке одно из значений '0 2 Arg z0: Положим

где - произвольная кривая с началом в точке z0 и концом в точке z; лежащая в области D: Поскольку приращение аргумента не зависит от выбора кривой, соединяющей точки z0 и z и лежащей в D; равенство (94) определяет в области D однозначную непрерывную функцию. Эта функция является однозначной ветвью многозначной функции Argz; определенной в области D: Очевидно, что таких ветвей бесконечно много и другие ветви многозначной функции Arg z можно получить, добавляя к f(z) слагаемые 2k :

Выделение однозначной ветви многозначной функции Arg z в области D возможно лишь тогда, когда эта область не содержит контуров, окружающих точку z = 0:

9.2Логарифмическая функция

Рассмотрим произвольное комплексное число z 6= 0: Если ew = z; то w называют логарифмом комплексного числа z и обозначают

w = Ln z:

При w = u + iv получаем

ew = eu+iv = eueiv:

Следовательно, eu = jzj; ò. å. u = ln jzj; è v = Arg z = arg z + 2k ; k 2 Z: Èòàê,

78

Значение Ln z; отвечающее в (96) значению k = 0; называют главным значением логарифма и обозначают ln z; т. е.

ln z = ln jzj + i arg z:

Равенство (96) в области C n f0g определяет многозначную функ-

цию, называемую логарифмической функцией. Ветви этой многозначной функции определяются ветвями функции Arg z: Стало быть, функция

Ln z допускает выделение ветви в любой области, в которой допускает выделение ветви многозначная функция Arg z:

Теперь можно определить общую показательную функцию. Пусть a 6= 0: Положим

az = ez Ln a: (97)

Как и в случае логарифма, выделяют главное значение показательной функции az; равное ez ln a:

Соотношение

при фиксированном a определяет многозначную функцию в области

C n f0g; называемую общей степенной функцией.

9.3Обратные тригонометрические функции

Функции Arcsin z; Arccos z; Arctg z; Arcctg z определяют как

обратые к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу соответственно и называют обратными тригонометрическими функциями комплексного переменного.

Так, если z = cos w; то w называют арккосинусом числа z и обозна- чают Arccos z: Для вычисления w воспользуемся представлением

(мы сделали замену epiw = t): Тогда t2 2zt + 1 = 0: У этого уравнения два корня 1; 2 = z + z2 1 (в этой формуле квадратный корень имеет

79

Поскольку 1 2 = 1; òî j 1jj 2j = 1 è arg 1 + arg 2 = 2k ; k 2 Z: Главное значение аргумента комплексного числа есть число из промежутка ( ; ]: Поэтому либо arg 1 + arg 2 = 0; ëèáî arg 1 + arg 2 = 2 : Значит, либо два аргумента отличаются лишь знаком, либо обо равны :

Это рассуждение показывает, что из двух значений 1 è 2 одно имеет главное значение аргумента, принадлежащее отрезку [0; ]: Обозначим его через : Ему соответствует значение многозначной функции Arccos z; равное i ln = i ln j j+arg ; которое называют главным значением арккосинуса и обозначают arccos z:

Итак, по определению

p

ãäå = z + z2 1 является числом, аргумент которого принадлежит отрезку [0; ]: Другие значения Arccos z либо отличаются от главного

значения арккосинуса слагамым 2k ; k 2 Z; либо формируются вторым p

значением выражения z + z2 1; равным 1= :

Аналогично с помощью логарифмической функции можно выразить и другие обратные тригонометрические функции:

Можно показать, что для любого значения Arccosz существует такое значение Arcsin z; что сумма этих значений равна =2: Аналогичное утверждение справедливо для пары функций Arctg z и Arctg z: Именно в этом смысле и следует понимать равенства

80