матанал / Chast_3

один простой нуль в точке z0: Это значит, что функция f(z) принимает в этом круге значение w1 только один раз. так как точка w1 2 K0 âû- биралась произвольно, заключаем, что в круге K0 определена функция

z = (w); которая каждой точке w 2 K0 ставит в соответствие ее про- образ z при отображении w = f(z); т.е. функция, обратная к функции w = f(z):

Проведенные рассуждения можно сформулировать следующим образом. Каков бы ни был круг K радиуса r с центром в точке z0 существует êðóã K0 радиуса с центром в точке w0; образ которого при отображе-

нии z = (w) целиком содержится круге KK: Это означает, что функция

(w) является непрерывной в точке w0: Эти рассуждения можно провести для любо точки в круге K0; т.е. функция (w) непрерывна в круге

K0:

Рассуждая как при выводе формулы производной обратной функции в вещественном случае, нетрудно получить формулу (149).

Пусть функция f голоморфна в точке z0; w0 = f(z0); и ее производная f0(z) имеет в точке z0 нуль порядка m 1; m > 1: Тогда существуют такие круги K = fz 2 C : jz z0j < rg è K0 = fw 2 C : jw w0j < g; что для любого числа w 2 K0; w 6= w0; уравнение

f(z) = w имеет в круге K ровно m различных корней.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что функия f(z) w0 имеет в точке z0 нуль порядка m: Как в доказательстве теормы об об-

ратной функции выберем замкнутый круг K = fz 2 C : jz z0j rg; в котором у функций f(z) w0 è f0(z) нет нулей, кроме точки z0: Выбрав

число согласно формуле (150) и повторяя рассуждения из доказатель-

ства теоремы об обратной функции, заключаем. что для любой точки w1 2 K0 функция f(z) w1 имеет в круге K столько же нулей с уче-

том их кратности, что и функция f(z) w0; т.е. m: Поскольку все эти нули простые (т.к. f0(z) 6= 0 ïðè z 6= z0), то функция f(z) w1 имеет

m различных нулей, а уравнение f(z) = w1 имеет ровно m различных корней.

Определение 15.2. Функцию f(z) называют однолистной в точ-

êå z = z0; если существует окрестность этой точки, в которой f(z) однолистна.

Сопоставляя теоремы (15.2.2) и (15.2.3), можно сделать вывод.

131

Теорема 15.2.4. Функция f(z) голоморфная в точке z0 2 C однолистна в этой точке тогда и только тогда, когда f0(z0) 6= 0:

Замечание. Необходимым условием однолистности функции в области является ее однолистность в каждой точке области (т.е. локальная

однолистность). Однако это условие не является достаточным. Примером, подтверждающим это, является функция ez:

Проверка однолистности функции в области значительно сложнее, чем в точке.

15.3Принцип максимума модуля.

Теорема 15.3.1. (принцип максимума модуля). Если функция f голоморфна в области D и ее модуль jfj достигает максимума в точке z0 2 D , òî f const:

Доказательство. Допустим, что f не равна тождественно константе и рассмотрим круг U = fjz z0j < rg; вместе со своим замыканием содержащийся в ; в котором jfj достигает своего максимума, т. е.

jf(z0)j jf(z)j ïðè âñåõ z 2 U:

Тогда согласно принципу сохранения области множество f(U) содержит целый круг U с центром в точке w0 = f(z0): Выбрем в этом круге произвольную точку w1; удовлетворяющую условию jw1j > jw0j: Тогда ее прообраз z1 2 U удовлетворяет неравенству

jf(z1)j > jf(z0)j:

Это означает, что функция jfj не имеет локального максимума в точке z0: Противоречие.

Опираясь на принцип максимума модуля, легко доказать следующую теорему.

Теорема 15.3.2. Функция f; голоморфная в ограниченной области D и

непрерывная в ее замыкании D; достигает максимума модуля на границе @D области D:

Замечание. Последние две теоремы неверны для минимума модуля голоморфной функции. Пример: функция f(z) = z в единичном круге

fjzj < 1g:

132

15.4Теорема Римана и принцип соответствия границ

Любая голоморфная и однолистная в области D функция осуществ-

ляет конформное отображение этой области, ибо по доказанному ранее из однолистности следует, что f0(z) 6= 0 ни в одной точке D:

Теперь мы рассмотрим более трудную и более важную для практи- ческих целей задачу:

Даны две области D1 è D2 и требуется найти (однолистное) конформное отображение f : D1 ! D2 одной из них на другую.

Конформное отображение f области D1 íà D2 íà- зывают (конформным) изоморфизмом, а области, допускающие такое отображение, - изоморфными. Изоморфизм области на себя называют автоморфизмом.

Основной результат этого пункта

Теорема 15.4.1. (Римана). Любая односвязная область, граница которой содержит более одной точки, изоморфна единичному кругу.

Доказательство этой теоремы весьма трудоемко. По этой причине мы не будем его проводить.

Поскольку отображение, обратное конформному отображению, в свою очередь является конформным, легко сделать следующее заключение.

Следствие. Любые области, границы которых состоят более чем из одной точки, изоморфны.

Важным теоретическим положением, характеризующим поведение конформного отображения вблизи границы области, является следующая теорема.

Теорема 15.4.2. (принцип соответствия грагиц). Пусть D1 è D2 - односвязные области, ограниченные простыми кусочно гладкими контурами 1 è 2; а функция f конформно отображает область D1 íà D2: Тогда:

1)функция f имеет непрерывное продолжение на границу 1 îáëà- ñòè D1; т.е. ее можно так доопределить в точках контура 1; что получится функция, непрерывная в замыкании D1;

2)функция f; доопределенная на границе, отображает контур 1 взаимно однозначно на контур 2; причем так, что положитель- ному обходу контура 1 будет соответствовать положительный обход контура 2:

133

Верно также и обратное утверждение.

Теорема 15.4.3. Пусть функция f голоморфна в односвязной области D1 C; ограниченной кусочно гладким контуром 1; и непрерывна в за-

мыкании D1: Если функция f осуществляет взаимно однозначное отображение контура 1 на некоторый простой кусочно гладкий контур 2; то f отображает область D1 конформно на область D2; ограниченную контуром 2; причем обходу контура 1 в положительном направлении соответствует обход контура 2 также в положительном направлении.

16 Конформные отображения

Теория конформных отображений подчинена решению двух задач:

1)найти образ области при заданном отображении;

2)найти конформное отображение одной заданной области на другую.

Практические пути решения открывает прежде всего принцип соответствия границ, согласно которому конформное отображение одной области на другую определяется непрерывным и взаимно однозначным соответствием между их границами. Для решения первой задачи нужно найти образ границы заданной области, а для решения второй - аналити- ческую функцию, устанавливающую взаимно однозначное соответствие между границами двух областей.

В теории конформных отображений нет универсального метода, обеспечивающего решение какой-либо из двух задач. Решение конкретной задачи можно найти, хорошо зная конформные отображения, осуществляемые элементарными аналитическими функциями, а также конформные отображения типовых областей.

Перейдем к рассмотрению конформных отображений, осуществляемых основными элементарными функциями.

16.1Дробно-линейные функции

Геометрия евклидовой плоскости R2 тесно связана с линейными пре- образованиями, переводящими прямые на плоскости снова в прямые. В

134

случае комплексной плоскости C эту роль выполняют линейные преобразования вида z ! az + b с комплексными a; b:

Геометрия расширенной комплексной плоскости связана с дробнолинейными преобразованиями вида

Роль "прямых"в геометрии C играют обобщенные окружности, т.е. прямые или окружности на комплексной плоскости C: Дробно-линейные

отображения переводят обобщенные окружности снова в обобщенные окружности.

Линейное отображение.

Отображение, осуществляемое функцией

называется линейным отображением.

Доопределим это отображение в бесконечно удаленной точке значе- нием

Соотношения (151) и (152) опредåëÿþò îднолистное отображение расширенной комплексной плоскости C на C: Действительно, если w1 = az1 + b è w2 = az2 + b; òî w1 w2 = a(z1 z2) и, следовательно, равенство w1 = w2 возможно только при z1 = z2:

Так как dw=dz = a 6= 0 при любых z; то отображение является конформным всюду в плоскости C: Исследуем точку z = 1: Согласно определению (7.8) рассмотрим функцию

значит линейное отображение f(z) = az + b конформно в точке z = 1: Рассмотрим частные случаи этого отображения.

135

1.w = z + b; b 2 : В этом случае происходит параллельный пере-

нос всех точек комплексной плоскости на вектор, соответствующий комплексному числу b:

2.w = eiz; 2 R: Это отображение осуществляет преобразование поворота вокруг начала коодинат на угол :

3.w = rz; r > 0: В этом случае отображение оставляет неизменным аргумент числа z; но его модуль изменяется в r раз. Такое отобра-

жение представляет собой преобразование подобия с центром подобия в точке z = 0 и коэффициентом подобия r:

Любая линейная функция w = az + b; может быть представлена в виде композиции трех линейных функций частного вида: w1 = eiz;

w2 = rw1; w = w2 + b: Так как каждое из трех составляющих отображений преобразует окружность в окружность, а прямую в прямую, то любое линейное отображение преобразует окружность в окружность и прямую в прямую.

Линейное отображение будет определено однозначно условиями, при которых однозначно определены параметры a и b: Например, при усло-

âèÿõ w(z1) = w1; w(z2) = w2: Тогда параметры a и b будут удовлетворять системе уравнений w1 = az1 + b è w2 = az2 + b; имеющей единственное решение. Соответствующее отображение имеет вид

Линейное отображение будет определено однозначно и в том случае, когда в некоторой точке z1 заданы значение функции w1 и значение ее производной. При этих условиях отображение можно записать в виде w w1 = a(z z1):

Дробно-линейное отображение

Отображение, которое осуществляется функцией

называется дробно-линейным.

136

Отметим, что в случае ad = bc числитель и знаменатель дроби az+b

cz+d

пропорциональны, т. е. отображение становится константой.

Если c = 0; то d 6= 0 и отображение (154) сводится к линейному отображению

Теорема 16.1.1. Функция (154) с дополнением (155) осуществляет взаимно однознà÷ное и непрерывное отображение расширенной комплексной плоскости C на C:

Доказательство. Доказать самостоятельно.

Теорема 16.1.2. Дробно-линейное отображение конформно в расширенной комплексной плоскости.

Доказательство. Пусть z 6= d=c; 1: Тогда

Следовательно, отображение конформно в этих точках.

Проверим конформность в точке z = dc : Для этого нужно доказать конформность отображения

то отображение F конформно в точке z = dc :

Конформность w = f(z) в точке z = 1 эквивалентна конформности

отображения

G(z) = f(1) = a + bz z c + dz

в нуле, которая проверяется так же, как и выше.

137

Теорема 16.1.3. Дробно-линейными отображениями являются:

-композиция двух дробно-линейных отображений;

-отображение, обратное к дробно-линейному отображению.

Доказательство. Доказать самостоятельно.

Определение 16.1. Окружностью на C будем называть любую окружность комплексной плоскости или любую прямую в C; дополненную точкой z = 1:

(круговое свойство дробно-линейного отображения). Произвольíое дробно-линейное îтображение преобразует любую окружность на C в окружность на C:

Доказательство. Преобразуем дробно-линейное отображение к виду

Следовательно, дробно-линейное отображение является композицией трех отображений:

1

f1(z) = z + D; f2(z) = z ; f3(z) = A + Bz:

Отображения f1 è f3; как нам уже известно, обладают круговам свойством. Остается доказать, что круговам свойством обладает отображение f2:

Уравнение любой окружности на C можно записать в виде

Переходя комплексному переменному z = x + iy и учитывая, что

x = z +2 z ; y = z 2i z ;

из (156) получим комплексное уравнение окружности на C

138

в котором F = (F2 iF2)=2: Чтобы получить уравнение образа окруж-

ности на C при отображении f2; достаточно подставить в (157) z = 1=w :

wwE + Fw + Fw + G = 0;

èëè

Gww + F w + Fw + E = 0:

Мы пришли к уравнению того же вида, что и уравнение (157). Следовательно, образ окружности на C при отображении w = 1=z есть окруж-

ность на C:

Замечание. Дробно-линейное отображение w = az+b

cz+d преобразует окружность в прямую, если эта окружность проходит через точку z =

dc ; которая отображается в бесконечно удаленную точку. Если окружность не проходит через точку z = dc ; то ее образом будет окружность.

Аналогичным образом преобразуются прямые.

Прежде, чем говорить о другом важном геометрическом свойстве дробно-линйного отображения, дадим следующее определение.

Определение 16.2. Точки z и z называют симметричыми относительно окружности в C; если они лежат на одном луче, выходящем из центра z0 окружности ; и произведение их расстояний до центра окружности равно квадрату радиуса R окружности, т. е.

arg(z z0) = arg(z z0); jz z0jjz z0j = R2:

Из определения можно получить равенство

Так как при приближении точки z к центру окружности симметрич- ная ей точка z стремится к бесконечно удаленной точке, то центр z0 окружности и бесконечно удаленную точку естественно считать симметричыми относительно окружности :

Введенное понятие симметрии относительно окружности, которое в элементарной геометрии называют инверсией, можно рассматривать как развитие понятия симметрии относительно прямой.

Оставаясь в рамках элементарной геометрии, можно доказать следующую теорему.

139

Теорема 16.1.5. (критерий симметричности точек). Две различные точки z и z симметричны относительно окружности (прямой) то-

гда и только тогда, когда любая окружность или прямая, проходящая через эти точки, перпендикулярна в точках пересечения.

В силу конформности дробно-линейного отображения последняя теорема приводит нас к заключению.

Теорема 16.1.6. (свойство сохранения симметричных точек). Произвольное дробно-линейное отображение преобразует любые точки z и z ;

симметричные относительно окружности на C; в точки w и w0; симметричные относительно образа 0 этой окружности.

В формулу дробно-линейного отображения

w =

az + b

cz + d

входят четыре комплексных коэффициента a; b; c; d: Однако на самом

деле отображение зависит от трех комплексных параметров, ибо числитель и знаменатель дроби можно поделить на один из не равных нулю коэффициентов. Поэтому естественно ожидать, что при помощи дробнолинейного отображения можно единственным образом преобразовать три заданные точки в три заданные. Действительно, имеет место

Теорема 16.1.7. Каковы бы ни были три различные точки z1; z2; z3 2 C

и три различные точки w1; w2; w3 2 C; существует, и притом только одно, дробно-линейное отображение L; L(zk) = wk; k = 1; 2; 3:

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда z1; z2; z3 2 C è w1; w2; w3 2 C:

Докажем существование указанного дробно-линейного отображения. Дробно-линейное отображение

переводит точки z1; z2; z3 в точки 0; 1; 1 на C: Аналогично, дробно-линейное

140