матанал / Chast_3

1)множество D является замкнутым ограниченным элементарным множеством, граница которого представляет собой простой ку-

сочно гладкий контур, а отображение, задаваемое равенствами

8

>x = x(u; v);

<

y = y(u; v); (u; v) 2 D R2;

>

:z = z(u; v):

взаимно однозначно на множестве внутренних точек множества D (простая поверхность);

2)функции x = x(u; v); y = y(u; v); z = z(u; v) и их частные производные первого порядка непрерывны на множестве D вплоть до границы (гладкая поверхность);

3)хотя бы один из якобианов

отличен от нуля при любых значениях u и v (регулярная поверх-

ность, невырожденная поверхность или поверхность без особых то- чек).

Поверхности, удовлетворяющие указанным трем условиям, будем называть кратко гладкими поверхностями.

Замечание. На границе некоторые частные производные функций x = x(u; v); y = y(u; v); z = z(u; v) могут не существовать в обыч-

ном смысле. Поэтому в этом определении под частной производной в граничной точке (u0; v0) множества D будем понимать предел соответствующей частной производной при стремлении точки (u; v) 2 D к точ-

êå (u0; v0): Если частная производная в граничной точке существует в обычном смысле, то можно показать, что оба определения частной производной в точке границы приводят к одному и тому же значению.

Обозначим

r= r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v));

r0u(u; v) = (x0u(u; v); yu0 (u; v); zu0 (u; v)); r0v(u; v) = (x0v(u; v); yv0 (u; v); zv0 (u; v));

11

Напомним, что касательная плоскость к поверхности в точке

P 2 - это плоскость, проходящая через точку P; которая содержит все касательные к кривым, проходящим через точку P и лежащим на поверхности : Нормаль к поверхности в точке P 2 - это прямая, проходящая через P и перпендикулярная касательной плоскости.

Если вектор-функция (t) = ( 1(t); 2(t)); t 2 [t1; t2]; непрерывно дифференцируема, ( 01)2(t) + ( 02(t))2 6= 0 при любом t 2 [t1; t2]; и множество значений E( ) D; то вектор-функция

f(t) = (x( 1(t); 2(t)); y( 1(t); 2(t)); z( 1(t); 2(t)))

представляет параметризованную гладкую кривую C; лежащую на поверхности :

Пусть координаты точки P x0 = '1(u0; v0); y0 = '2(u0; v0);

z0 = '3(u0; v0) è (u0; v0) = ( 1(t0); 2(t0)): Тогда касательный вектор f0(t0) к кривой C в точке P согласно правилу дифференцирования сложной функции может быть найден по формуле

f0(t0) = (x0u(u0; v0) 01(t0) + x0v(u0; v0) 02(t0); yu0 (u0; v0) 01(t0)+

+yv0 (u0; v0) 02(t0); zu0 (u0; v0) 01(t0) + zv0 (u0; v0) 02(t0)):

Таким образом

f0(t0) = 01(t0)r0u(u0; v0) + 02(t0)r0v(u0; v0);

т. е. любой касательный вектор в точке M0 к кривой, лежащей на по-

верхности ; является линейной комбинацией двух векторов r0u(u0; v0) è r0v(u0; v0); и эти вектора, отложенные от точки M0; лежат в касательной

плоскости к поверхности.

Тогда векторное произведение r0u(u0; v0) r0v(u0; v0) является нормальным вектором к поверхности в точке M0; и касательная плоскость может быть задана уравнением в общем виде

A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0;

в котором A; B; C - координаты вектора r0u(u0; v0) r0v(u0; v0): Используя правило вычисления векторного произведения в прямоугольных координатах, получаем

A= D(y; z) (u0; v0) = yu0 (u0; v0)zv0 (u0; v0) yv0 (u0; v0)zu0 (u0; v0); D(u; v)

12

B= D(z; x)(u0; v0) = zu0 (u0; v0)x0v(u0; v0) zv0 (u0; v0)x0u(u0; v0); D(u; v)

C= D(x; y)(u0; v0) = x0u(u0; v0)yv0 (u0; v0) x0v(u0; v0)yu0 (u0; v0); ; D(u; v)

2.2Двусторонние поверхности.

Пусть - гладкая поверхность с параметрическим представлением

Рассмотрим единичный вектор

Координаты вектора n = (cos ; cos ; cos ) выражаются равенствами

Определение 2.1. Вектор n = n(r) называют нормалью к поверхности ; отвечающей параметризации r = r(u; v):

13

Заметим, что вектор-функция n(r) является непрерывной. Если задана другая параметризация поверхности ; то нормаль к поверхности либо не меняется во всех точках ; либо меняет свое направление сразу во всех точках : Поэтому говорят, что нормаль к поверхности, отвеча-

ющая некоторой параметризации этой поверхности, выделяет на ней ее сторону. Поверхность с выделенной стороной называется двусторонней поверхностью.

Определение 2.2. Выделение одной из сторон поверхности с помощью параметризации называется ориентацией поверхности :

Для поверхности заданной явно уравнением z = f(x; y); (x; y) 2 D;

<

>

:z = f(u; v):

Тогда

r0u = (1; 0; fu0 ); r0v = (0; 1; fv0)

è

r0u r0v = ( fu0 ; fv0; 1):

После нормировки получим

Если поверхность,заданна неявно уравнением F (x; y; z) = 0; то вектор (Fx; Fy0; Fz0) ортогонален к касательной плоскости. Следовательно,

14

(Fx0)2 + (Fy0)2 + (Fz0)2

2.3Площадь поверхности.

Наша задача - определить меру, то есть понятие площади гладкой поверхности.

Для простоты рассуждений предположим, что плоское множество D есть замкнутый квадрат со сторонами, параллельными осям коорди-

нат. Построим разбиение T квадрата D на равные квадраты Dk;l; k; l = 1; : : : ; n; со стороной h ( (Dk;l) = h2): Пусть точка (uk;l; vk;l) - левая ниж-

няя вершина квадрата Dk;l:

Заменим отображение r = r(u; v) r(uk;l; vk;l) дифференциалом

dr(uk;l; vk;l): Тогда образом квадрата Dk;l будет параллелограмм с вершиной в точке r(uk;l; vk;l); построенный на векторах r0u(uk;l; vk;l)h è r0v(uk;l; vk;l)h: Площадь этого параллелограмма равна модулю векторного произведения

Определение 2.3. Предел (T ) при стремлении диаметра разбиения к нулю (h ! 0) назывют площадью поверхности : Обозначим ее через S:

В то же время сумма (T ) является интегральной суммой для двой-

15

2.4Поверхностный интеграл первого рода.

Пусть функция f(x; y; z) определена в точках гладкой поверxности; имеющей параметрическое представление (5)

r = r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)); (u; v) 2 D:

Пусть - набор измеримых по Жордану множеств D1; : : : ; Dn являющий- ся разбиением множества D; - диаметр разбиения, i; i = 1; : : : ; n; - части поверхности, соответствующие множествам Di; i = 1; : : : ; n; Si - их площади, и точки (ui; vi) 2 Di; i = 1; : : : ; n:

Построим сумму

16

Если существует предел I при ! 0 интегральной суммы ( ); то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f по поверхности и обозначается символом ZZ

I = f(x; y; z)dS:

Теорема 2.4.1. Пусть - гладкая поверхность, имеющая параметри- ческое представление (5), и функция f(x; y; z) непрерывна во всех точ- ках : Тогда поверхностный интеграл первого рода существует и может быть вычислен по формуле

n ZZ

X

f(x(u; v); y(u; v); z(u; v))

ãäå !i - колебание функции f на множестве Di: Последняя часть цепочки

неравенств стремится к нулю при ! 0 в силу непрерывности функ- p

öèé f è EG F 2 на замкнутом множестве D: Таким образом, предел интегральной суммы ( ) при ! 0 равен числу I :

17

Замечание. В случае поверхности ; заданной явно уравнением z = '(x; y); формула (15) принимает вид

где D - проекция поверхности на плоскость xOy:

2.5Поверхностный интеграл второго рода.

Пусть - гладкая поверхность с параметрическим представлением

(5)

r = r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)); (u; v) 2 D;

и на поверхности заданы функции P (x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z):

èëè ZZ

P (x; y; z)dydz + Q(x; y; z)dzdx + R(x; y; z)dxdy :=

ZZ

=P (x(u; v); y(u; v); z(u; v))A(u; v)+Q(x(u; v); y(u; v); z(u; v))B(u; v)+

D

+R(x(u; v); y(u; v); z(u; v))C(u; v) dudv: (20)

Используя направляющие косинусы вектора n

18

преобразуем равенство (20)

Обратим внимание на следующий факт. Введем вектор-функцию F = (P; Q; R): Тогда подинтегральная функция в интеграле из правой части

равенства (21) является скалярным произведением Fn:

На примере интеграла (19) сформулируем основные свойства поверхностного интеграла второго рода.

1.При изменении стороны поверхности (при смене ориентации поверхности) интеграл меняет знак.

2.Интеграл обладает свойством линейности:

3.Если поверхность разбита на конечное число частей k ; k = 1; : : : ; N; не имеющих общих внутренних точек, то

по цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz; равен нулю.

19

Рассмотрим случай явного задания поверхности уравнением z = f(x; y): Если выбрана ее верхняя сторона, т. е.

2.6Формула Стокса

Пусть - гладкая поверхность с параметрическим представлением

(5)

r = r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)); (u; v) 2 D;

где функции x(u; v); y(u; v); z(u; v) дважды непрерывно дифференцируемы в замкнутой области D; ограниченной гладким контуром L :

Контуру L при отображении r(u; v) сответствует контур L; ограни- чивающий поверхность : Обходу контура L на плоскости соответствует обход контура L; и наоборот. Условимся считать положительным такое направление обхода контура L; которому соответствует положительное направление обхода контура L : Если единичный вектор n нормали к

поверхности определить формулой (7), то при положительном обходе контура L поверхность будет оставаться слева, если смотреть с конца

вектора n: Таким образом, положительное направление обхода границы

поверхности согласуется с выбором ее стороны.

Пусть в некоторой области G; целиком содержащей поверхность ; заданы непрерывно дифференцируемые функции P; Q; R: Тогда имеет место формула Стокса

20