матанал / Chast_3

10Интегрирование функций комплексного переменного

10.1Определение интеграла от функции комплексного переменного

Пусть : [a; b] ! C - гладкий путь, а непрерывная функция f определена на : Интегралом от функции f вдоль пути называется

a

где в правой части интеграл от комплексной функции f( (t)) 0(t) = g1(t) + ig2(t) действительного аргумента t понимается как

bb

ZZ

g1(t)dt + i g2(t)dt:

aa

Интеграл по кусочно гладкому пути определим как сумму интегралов

по его гладким кускам.

Если положить f = u + iv; 0 = 10 + i 20 ; то интеграл (105) можно переписать в виде криволинейного интеграла второго рода

Z Z Z

f(z)dz = udx vdy + i vdx + udy:

Перечислим основные свойства интеграла.

1.Линейность. Если функции f и g непрерывны на кусочно гладком пути ; то для любых комплексных постоянных и

Z Z Z

( f(z) + g(z))dz = f(z)dz + g(z)dz:

Следует непосредственно из определения.

81

3. Оценка интеграла. Для любой функции f; непрерывной на кусочно гладком пути ; справедливо неравенство

ZZ

f(z)dz jf(z)jds;

где справа стоит криволинейный интеграл первого рода.

Доказательство. Обозначим через J величину интеграла от f по; и пусть J = jJjei': Поскольку jJj = Je i'; òî

Так как интеграл справа является действительным числом, то

Следствие. Если в условиях предыдущей теоремы jf(z)j M всуду на ; где M - некоторая постоянная, то

Z

f(z)dz Mj j

В этом случае говорят, что путь противоположно ориентирован ïóòè :

82

Интеграл, введенный нами для пути , имеет смысл и для кривой, под которой мы понимаем класс эквивалентных путей . Интеграл по кривой мы определим как интеграл по любому пути из класса эквива-

лентных путей. Обратим внимание, что определение корректно, т. е. не

зависит от выбора пути из этого класса. Класс путей эквивалентных пути ; называют кривой ; противоположно ориентированной кривой

:

Приведем пример вычисления интеграла, который потребуется в дальнейшем.

Пример. Пусть : [ ; ] ! C - произвольный гладкий путь, соединяющий точки a и b: Вычислим интеграл вдоль пути от функции f(z) = zn; n = 0; 1; 2; : : : : Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница для

комплекснозначных функций вещественного переменного (которая, оче- видно, сохраняет силу), имеем

Таким образом, интеграл zndz зависит лишь от начала a и конца b

интеграл по замкнутому контуру будет равен нулю.

10.2Интегральная теорема Коши

В этом пункте мы приступим к доказательству центральной теоремы теории функций комплексного переменного.

10.2.1Теорема Коши для треугольника.

Теорема 10.2.1. Пусть функция f голоморфна в области D и замкнутый треугольник T D: Тогда

Z

f(z)dz = 0:

@T

83

Доказательство. От противного. Предположим, что

Z

f(z)dz = M > 0:

@T

Разобьем треугольник T на четыре треугольника средними линиями. Очевидно, что интеграл по границе треугольника T равен сумме ин-

тегралов по положительно ориентированным границам маленьких треугольников. Поэтому найдется хотя бы один маленький треугольник - обозначим его через T1 - такой, что

Треугольник T1 снова разобьем средними линиями на четыре треугольнока и по тем же соображениям выберем - обозначим его T2 -òîò, äëÿ

Продолжая это рассуждение, получим последовательность вложенных друг в друга замкнутых треугольников (Tn) таких, что справедливо

Эти треугольники имеют общую точку z0; принадлежащую T; а следовательно, и D: Так как функция дифференцируема в точке z0; то для любого > 0 найдется > 0 такое , что справедливо разложение

f(z) f(z0) = f0(z0)(z z0) + (z)(z z0)

где для всех z из окрестности U = fjz z0j < g будет j (z)j < : В U найдется найдется треугольник построенной последовательности, пусть это будет треугольник Tn: Тогда

84

Z

+(z)(z z0)dz:

@Tn

Первые два интеграла равны нулю (см. пример в разделе (10.1)). Поэто-

@Tn @Tn

Согласно построению j@Tnj = j@T j=2n; где j@T j - периметр треугольника T: Следовательно,

Учитывая (106), получаем неравенство

M < j@T j2;

откуда в силу произвольности числа заключаем, что M = 0 вопреки начальному предположению.

10.2.2Теорема Коши.

Рассуждая по индукции теорему Коши можно распространить на слу- чай замкнутой ломаной.

Теорема 10.2.2. Пусть функция f голоморфна в односвязной области D и замкнутая ломаная L D: Тогда

Z

f(z)dz = 0:

L

Теорема 10.2.3. Пусть функция f голоморфна в односвязной области D и - кусочно гладкая замкнутая кривая, лежащая в D: Тогда

Z

f(z)dz = 0:

85

Доказательство. Рассмотрим какую-нибудь замкнутую область E D; содержащую : Пусть для определенности E состоит из точек, расстояние которых от не превосходит некоторого > 0: Заметим также, что число должно быть меньше рассояния между и границей D:

Функция f; будучи напрерывной на E; равномерно непрерывна на нем. Поэтому для любого > 0 найдется > 0 такое, что jf( 1) f( 2)j <; åñëè j 1 2j < è 1; 2 2 E: Фиксируем на в определенном направлении точки z0; z1; : : : ; zn = z0; разбивающие ее на дуги 0; 1; : : : ; n 1 òàê, что максимальная их длина j jj < min( ; ): Каждые две точки

zj è zj+1 (j = 0; 1; : : : ; n 1) отрезком прямой lj: Совокупность этих отрезков составляет замкнутую ломаную L; вписанную в и лежащую в E: В силу теоремы (10.2.2)

sup jf(z) f(zj)jj jj + sup jf(z) f(zj)jjljj:

Поскольку расстояние между любыми двумя точками дуги j или отрез- êà lj меньше, чем ; то

86

Следовательно,

ZZ

f(z)dz f(z)dz < (j jj + jljj) 2 j jj

X

f(z)dz 2 j jj = 2 j j:

j=0

Поскольку произвольно мало, то

Z

f(z)dz = 0:

Приведем еще один вариант формулировки теоремы Коши для простого замкнутого контура.

Теорема 10.2.4. Пусть функция f голоморфна в области D и - за-

мкнутый простой контур, лежащий вместе со своей внутренностью в D: Тогда

Z

f(z)dz = 0:

10.2.3Теорема Коши для составного контура.

Определение 10.1. Пусть на плоскости даны простые замкнутые кривые ; 1; : : : ; n причем все кривые 1; : : : ; n лежат внутри и каждая кривая j лежит во внешности любой другой кривой i; i 6= j: Множество точек плоскости, расположенных внутри и вне 1; : : : ; n; представляет собой многосвязную область D; границу которой состав-

ляют контуры ; 1; : : : ; n: При этом контур называют внешней границей области, а совокупность контуров 1; : : : ; n - внутренней грани- цей многосвязной области. Положительной ориентацией границы области называют такой обход границы, при котором область остается слева. Движение в противоположном направлении называют отрицательным обходом.

Границу @D такой многосвязной области D с положительным обходом будем называть составным контуром.

87

Теорема 10.2.5. (Коши для составного контура). Пусть функция f голоморфна в области G; D - многосвязная область, граница @D которой является составным контуром, и D 2 G: Тогда

Z

f(z)dz = 0: (107)

@D

Доказательство. Соединим гладкими кривыми, лежащими в G; конту-

ðû c 1; 1 ñ 2 è ò.ä. n с : В результате мы можем рассмотреть два замкнутых контура, удовлетворяющих теореме (10.2.4), интегралы по которым будут равны нулю. Остается заметить, что сумма интегралов по этим двум контурам представляет собой в то же время интеграл по составному контуру @D:

Следствие. В условиях теоремы формулу (107) можно переписать в

âèäå Z Z Z

f(z)dz = f(z)dz + : : : + f(z)dz; (108)

1 n

где все контуры проходятся против часовой стрелки.

10.3Интеграл и первообразная

Определение 10.2. Первообразной функции f в области D называется такая голоморфная в этой области функция F; что в каждой точке

Если F - первообразная функции f в области D; то при любой постоянной C функция F (z) + C также является первообразной функции f в области D:

С другой стороны, если F1 è F2 - первообразные функции f в области D; то найдется постоянная C такая, что F1(z) = F2(z) + C; z 2 D:

Действительно, рассмотрим функцию (z) = F1(z) F2(z): Îíà äèô-

88

и, следовательно,

u(x; y) = C1; v(x; y) = C2;

ò. å.

(z) = C1 + iC2:

Подведем итог.

Теорема 10.3.1. Если F - какая-либо первообразная функции f в области D; то совокупность всех первообразных функции f описывается

формулой

F (z) + C;

где C - произвольная постоянная.

Теорема 10.3.2. Пусть функция f непрерывна в односвязной области D и интеграл по любой кусочно гладкой кривой, лежащей в D; зависит лишь от положения начальной и конечной точек. Тогда при любом z0 2 D функция

является голоморфной в области и

F 0(z) = f(z); z 2 D:

Доказательство. Пусть точка z1 2 D и z принадлежит окрестности точ- ки z0; содержащейся в D: Зафиксируем некоторую кривую ; лежащую в D и соединяющую точку z0 с точкой z1: Соединим точку z1 с z прямолинейным отрезком. Тогда

f(z1)d = f(z1)(z z1);

z1

89

получим равенство

В силу непрерывности функции f для произвольного > 0 существует такое ; что для любого z при условии jz z1j < будет выполняться неравенство jf(z) f(z1)j < : Если принадлежит отрезку, соединяещему точки z1 è z; òî jf( ) f(z1)j < : Поэтому

Это означает, что

ò.å. F 0(z1) = f(z1); ïðè òîì, ÷òî z1 - произвольная точка области D:

Теорема 10.3.3. Всякая функция f; голоморфная в односвязной области D имеет в ней первообразную.

Доказательство. Рассмотрим любые две кусочно гладкие кривые 1 è2; соединяющие точки A и B в области D: Тогда кривые 1 è 2 ; образуют замкнутый контур, интеграл по которому в силу теоремы Коши для односвязной области равен 0, т. е.

ZZ

f(z)dz + f(z)dz = 0

1 2

Тогда Z Z

f(z)dz = f(z)dz;

1 2

т. е. интеграл не зависит от кривой, соединяющей точки. Поскольку голоморфная функция непрерывна, то, применяя теорему (10.3.2), приходим к требуемому заключению.

90