матанал / Chast_3

14 Вычеты в изолированных особых точках

14.1Вычет в конечной точке.

Определение 14.1. Пусть функция f голоморфна в проколотой окрестности V = f0 < jz aj < g точки a 2 C:

Вычетом функции f в точке a называют число

jz aj=r

где 0 < r < и окружность ориентирована против часовой стрелки.

Заметим, что в силу теоремы Коши интеграл не зависит от радиуса r: Кроме того, вместо окружности можно взять любой контур, охваты-

вающий точку a и лежащий в V:

Замечание.Если функция f голоморфна в точке a (то же самое, что точка a является устранимой особой точкой), то resaf(z) = 0:

Теорема 14.1.1. (Коши о вычетах). Пусть простой контур L вместе со своей внутренностью D лежит в области G и функция f голоморфна в области G всюду, за исключением конечного числа особых точек a1; a2; : : : ; an 2 D: Тогда

Доказательство. Построим окружности Lk; k = 1; : : : ; n; с центрами в точках ak таких радиусов, чтобы эти окружности не пересекались друг с другом и все лежали в области D: По теореме Коши для составного контура и определению (14.1) имеем

Таким образом, вычисление интеграла по контуру сводится к вычислению вычетов подинтегральной функции в изолированных особых точ- ках, охватываемых этим контуром. Оказывается, что вычет функции в

121

особой точке легко вычислить, если известно лорановское разложение функции в окрестности этой особой точки.

Теорема 14.1.2. Вычет функции f(z) в изолированной особой точке z = a равен коэффициенту c 1 лорановского разложения f(z) в окрестности точки a:

Доказательство. Разложим функцию f(z) в ряд Лорана в проколотой окрестности f0 < jz aj < rg точки a: Тогда

где в качестве контура L можно взять любую окружность fjz aj = g радиуса < r: Но правая часть равенства есть resaf(z):

14.2Вычисление вычета в полюсе.

Рассмотрим сначала случай простого полюса (полюса первого порядка) функции f(z) в точке a: Тогда лорановское разложение функции f(z)

в проколотой окрестности точки a имеет вид

где '(z) и (z) - функции, голоморфные в окрестности точки a и удовлетворяющие условиям

122

z a

Итак, если функция f(z) имеет представление (138), удовлетворяющее условиям (139), то

Пусть теперь точка a является полюсом функции f(z) порядка m: Тогда в проколотой окрестности точки a

n=0

причем c m 6= 0: Умножив это равенство на (z a)m; получим

Для вычисления вычета в существенно особой точке аналогичных формул нет. В этом случае нужно непосредственно найти коэффициент c 1 лорановского разложения функции в окрестности этой точки.

14.3Вычет в бесконечно удаленной точке.

Определение 14.2. Пусть функция f(z) голоморфна в области fjzj > Rg и имеет точку z = 1 своей изолированной особой точкой.

Вычетом функции f в бесконечности называется число

Lr

где окружность L = fjzj = rg радиуса r > R проходится по часовой стрелке.

123

Нетрудно видеть, что вычет в бесконечности функции f; имеющей в области fjzj > Rg лорановское разложение

1

X

f(z) = cnzn;

n= 1

равен

res1f(z) = c 1:

Отметим, что в случае, когда z = 1 - устранимая особая точка функции f(z); вычет в ней может быть отличен от нуля. Этим бесконечно

удаленная точка отличается от конечных особых точек.

Если точка 1 является устранимой особой точкой, то нетрудно доказать формулу

14.4Теорема о полной сумме вычетов.

Теорема 14.4.1. (о полной сумме вычетов). Пусть функция f голоморфна во все плоскости C; за исключением конечного числа точек a1; a2; : : : ; an: Тогда справедливо равенство

Доказательство. Пусть окружность L = fjzj = Rg достаточно большего

радиуса содержит внутри себя все особые точки a1; a2; : : : ; an: Применяя теорему Коши о вычетах, получаем, что

Lk=1

Осталось заметить, что

1 Z

2 i

f(z)dz = res1f(z):

L

124

15Основы геометрической теории функций комплексного переменного

15.1Принцип аргумента.

Пусть функция f(z) является голоморфной в проколотой окрестности V = f0 < jz aj < rg точки a и не имеет нулей в V: Сама точка a может

быть как точкой голоморфности этой функции, так и ее изолированной особой точкой.

Определение 15.1. Логарифмическим вычетом функции f в точ- ке a называется вычет функции f0(z)=f(z) в этой точке, т.е. значение

где в качестве контура L можно взять любую окружность с центром в точке z = a; целиком лежащую в указанной проколотой окрестности этой точки.

Ясно, что логарифмический вычет функции f(z) может быть отличен

от нуля в ее изолированных особых точках, а также в ее нулях, поскольку точка z = a будет особой точкой функции f0(z) лишь в указанных

случаях.

Теорема 15.1.1. Логарифмический вычет функции f в нуле порядка n равен n:

Доказательство. Пусть точка a является нулем порядка n функции f: Тогда в некоторой окрестности этой точки имеет место равенство

f(z) = (z a)n'(z);

где '(z) голоморфна в точке a и не имеет нулей в некоторой окрестности этой точки. Следовательно,

125

Функция

(z) =

n'(z) + (z a)'0(z)

'(z)

голоморфна в точке a и (a) = n: Поэтому

resa f0(z) = n: f(z)

Следствие. Логарифмический вычет функции f в полюсе порядка p равен p:

Доказательство. Пусть точка a является полюсом порядка p функции f: Тогда эта точка является нулем прядка p функции g(z) = 1=f(z): Поскольку f0=f = g0=g; то в силу предыдущей теоремы логарифмический вычет функции f равен p:

Теорема 15.1.2. Пусть D - область с простой границей и функция f мероморфна в области G D и не имеет нулей и полюсов на L = @D: Обозначим через N и P соответственно полное число нулей и полюсов в области D ( с учетом их кратностей). Тогда

Доказательство. Поскольку функция f имеет в области D лишь конечное число нулей a1; : : : ; ak и полюсов b1; : : : ; bl; то функция f0(z)=f(z) голоморфна всюду в окрестности D; за исключением точек

a1; : : : ; ak; b1; : : : ; bl: Применяя теорему Коши о вычетах, а также теорему (15.1.1) и ее следствие, будем иметь

126

Теореме (15.1.2) можно дать геометрическую интерпретацию. Так как по условию теоремы функция f(z) голоморфна на контуре @D; то на

этом контуре имеем

LL

где под Ln f(z) понимается ветвь многозначной логарифмической функции Ln f(z) = ln jf(z)j+ i Arg f(z); заданная своим значением в некото-

рой точке z0 контура. Так как функция ln jf(z)j однозначна и непрерывна, то для выделения такой ветви достаточно выделить ветвь функции Arg f(z); задав значение аргумента в точке z0: При этом для произвольной точки z1 2 L будем иметь

где Arg f(z) - приращение функции Arg f(z) при движении точки z 2 L из положения z0 в положение z1 вдоль дуги контура L в положительном направлении.

Если контур L можно задать в виде z = z(t); t 2 [ ; ]; то, используя (146) и (147), находим

Zf0(z)dz = Z dLn f(z(t)) = Ln f(z( )) Ln f(z( )) = f(z)

=ln jf(z( ))j + i Arg f(z( )) ln jf(z( ))j i Arg f(z( )) =

= i LArg f(z);

поскольку в силу замкнутости контура и однозначности функции ln jf(z)j имеем = ln jf(z( ))j = ln jf(z( ))j: Величина LArg f(z) есть приращение аргумента Arg w вдоль кривой в плоскости переменной w; которую проходит точка w = f(z); когда точка z проходит в положительном направлении контур L: Тогда приходим к равенству

равна числу поворотов радиус-вектора точки w = f(z) вокруг точки w = 0; когда точка z проходит в положительном направлении контур L:

127

Следующая терема позволяет вычислять число нулей голоморфной функции в области, отбрасывая "малые"слагаемые.

Теорема 15.1.3. (Руше). Пусть функции f(z) и g(z) голоморфны в области G; содержащей замыкание области D; ограниченной простым контуром L; и во всех точках этого контура удовлетворяют неравен-

ñòâó

jg(z)j > jf(z)j; z 2 L:

Тогда их сумма g(z) + f(z) и функция g(z) имеют в D одинаковое число нулей (с учетом их кратности).

Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что jg(z)j > 0 на контуре L; и тогда jg(z) + f(z)j jg(z)j jf(z)j > 0: Итак функции g(z) и g(z) + f(z) отличны от нуля на L: Запишем

Поскольку jf(z)=g(z)j < 1 на L; то при движении точки z по контуру L радиус-вектор точки w = 1+f(z)=g(z) не может повернуться в плоскости w вокруг точки w = 0: Следовательно,

è

LArg g(z) + f(z) = LArg g(z):

В силу принципа аргумента отсюда вытекает утверждение теоремы.

Теорема Руше позволяет получить простое доказательство основной теоремы алгебры.

Теорема 15.1.4. (основная теорема алгебры). Любой многочлен Pn ñòå- пени n 1 имеет в C ровно n нулей.

128

Доказательство. Так как Pn имеет полюс в бесконечности, то все его

корни лежат в некотором круге fjzj < Rg: Пусть Pn = f + g; ãäå f(z) = a0zn (a0 6= 0) è g(z) = a1zn 1 + : : : + an: Увеличивая в случае надобности

R; можно добиться того, что на окружности fjzj = Rg будет выполняться

неравенство jf(z)j > jg(z)j: По теореме Руше Pn имеет в круге fjzj < Rg столько же нулей, сколько функция f(z) = a0zn; т. е. ровно n:

15.2Принцип сохранения области и обращение голоморфных функций.

Теорема 15.2.1. (принцип сохранения области). Если функция f голоморфна в области D C и не равна тождественно константе, то и образ D = f(D) является областью.

Доказательство. Докажем, что множество D

w1; w2 - произвольные точки D и z1; z2 2 D - их прообразы при отображении f; т. е. f(z1) = w1; f(z2) = w2: В силу связности D существует

непрерывный путь : I ! D с началом в точке z1 и концом в точке z2: Тогда f есть непрерывный путь в D ; соединяющий точки w1 è w2:

Докажем, что множество D открыто. Пусть w0 - произвольная точка из D : Укажем круг U с центром в этой точке, целиком лежащий в D :

Пусть z0 2 D - один из прообразов w0 при отображении f: Выберем r > 0 так, что круг U = fjz z0j < rg вместе со своим замыканием принадлежит D и не содержит других прообразов точки w0; кроме точки z0 (это возможно, так как нули голоморфной функции f(z) w0 изолиро- ваны в силу условия теоремы). Положим

r = min jf(z) w0j:

z2@U

Заметим, что r > 0; так как f(z) 6= w0 на @U: Покажем, что круг U = fjw w0j < r g содержится в D : Это означает, что каждая точка w 2 U

имеет прообраз в U: Представим функцию f(z) w в виде f(z) w = (f(z) w0) + (w0 w):

Тогда при z 2 @U будем иметь

jf(z) w0j r > jw0 wj;

129

и к функциям f(z) w0 è w0 w в круге U применима теорема Руше. Согласно этой теореме f(z) w имеет в U столько же нулей, сколько и

f(z) w0; т. е. по крайней мере один. Следовательно, U f(U) и, тем более, U D :

Теорема 15.2.2. (теорема об обратной функции). Пусть функция f голоморфна в точке z0; w0 = f(z0) è f0(z0) 6= 0: Тогда

1)существует круг K0 = fw 2 C : jw w0j < g; в котором определена функция (w); обратная к функции f(z);

то существует окрестность точки z0; в которой функция f(z) = w0 íå имеет нулей, кроме точки z0 (см. теорему (11.6.1) и ее следствие). В указанной окрестности выберем замкнутый круг K = fz 2 C : jz z0j

Рассмотрим круг K0 = fw 2 C : jw w0j < g и выберем в нем произвольную точку w1: Функция g(z) = f(z) w1 может быть представлена â âèäå

g(z) = f(z) w1 = f(z) w0 + (w0 w1);

где функции f(z) w0 и постоянная функция h(z) = w0 w1 голоморфны в замкнутом круге K и на его границе удовлетворяют неравенству

jf(z) w0j > jw0 w1j = jh(z)j:

В силу теоремы Руше функции f(z) w0 è g(z) = f(z) w0 + h(z) вкруге K = fz 2 C : jz z0j < rg имеют одинаковое число нулей с учетом их кратности, т.е. один нуль, так как функция f(z) w0 имеет в этом круге

130