матанал / Chast_3

Теорема 3.6.3. (о суммируемости ряда Фурье методом средних арифметических в точках разрыва). Пусть функция f 2 R2 и в точке x существует предел

lim f(x + t) + f(x t) = S:

t!0 2

Тогда в точке x

lim n(x) = S:

n!1

Доказательство. Пусть > 0: Тогда найдется > 0 такое, что при всех t 2 (0; ) выполняется неравенство

41

Поскольку интеграл

Z

0

представляет собой конкретное конечное число, то найдется номер n такой, что при всех n > n выполняется неравенство

Следствие 1. Если функция f 2 R2 и в точке x функция непрерывна, то в точке x

lim n(x) = f(x):

n!1

Следствие 2. Если функция f 2 R2 и точка x является точкой разрыва первого рода функции f, то в точке x

Теорема 3.6.4. (Фейера). Если функция f 2 -периодическая и непрерывная, то последовательность средних Фейера ( n) равномерно сходится к функции f:

42

Доказательство. Если функция f 2 -периодическая и непрерывная, то она равномерно непрерывная и ограниченная. Пусть > 0: Тогда найдется > 0 такое, что при всех t 2 (0; ) и при всех x 2 R выполняется неравенство

ò. å. n f:

Замечание. Если функция f непрерывна в точке x0; то ряд Фурье в точке x0 не может сходится к числу, отличному от f(x0): Действительно, по первому следствию теоремы (3.6.3)

lim n(x0) = f(x0)

n!1

и тогда в силу теоремы (3.6.1)

lim Sn(x0) = f(x0):

n!1

43

3.7Теоремы Вейерштрасса.

(вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f 2 -

периодическая и непрерывная, то существует последовательность тригонометрических многочленов (Tn); которая сходится к функции f равномерно на всей числовой прямой.

Доказательство. В качестве последовательность тригонометрических многочленов (Tn) можно взять последовательность средних Фейера ( n); которая согласно теореме Фейера равномерно сходится к функции f:

Другие формулировки второй теоремы Вейерштрасса.

1.Если функция f 2 -периодическая и непрерывная, то для любого

> 0 найдется тригонометрический многочлен T такой, что при всех x 2 R выполняется неравенство jf(x) T (x)j < :

2.Если функция f 2 -периодическая и непрерывная, то она разла-

гается в равномерно сходящийся ряд из тригонометрических многочленов.

Доказательство. Пусть последовательность тригонометрических

многочленов

Tn f:

Положим

Q1(x) = T1(x); Qn(x) = Tn(x) Tn 1(x); n = 2; 3; : : :

ßñíî, ÷òî Qn(x) - это тригонометрические многочлены,

1

X

f(x) = Qn(x)

n=1

и ряд равномерно сходится.

Теорема 3.7.2. (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f определена и непрерывна на отрезке [a; b]; то для любого > 0 найдется алгебраический многочлен P такой, что при всех x 2 [a; b] выполняется неравенство jf(x) P (x)j < :

44

Доказательство. Построим функцию

Продолжим ее четным образом на промежуток [ ; 0); т. е.

'(t) = '( t) ïðè âñåõ t 2 [ ; 0):

Далее, продолжим эту функцию на всю числовую прямую периодически с периодом 2 ; т. е.

'(t + 2 n) = '(t) ïðè âñåõ t 2 R è âñåõ n 2 Z:

Очевидно, что 2 -периодическая функция '(t) непрерывна на всей чис-

ловой прямой. Мы можем воспользоваться второй теоремой Вейерштрасса.

1

X

T (t) = aktk

k=1

с бесконечным радиусом сходимости. На отрезке [0; ] ( как и на любом другом отрезке) ряд сходится равномерно. Поэтому найдется такое n 2 N; что при всех t 2 [0; ] выполняется неравенство

k=1

Это есть алгебраический многочлен.

45

Опираясь не неравенства (50) и (51), получим оценку

j'(t) P (t)j = j('(t) T (t)) + (T (t) P (t))j

Функция P (x) является алгебраическим многочленом. Поскольку при

x 2 [a; b]

x a f(x) = ' b a ;

то окончательно имеем неравенство

f(x) P (x) <

ïðè âñåõ x 2 [a; b]:

Другие формулировки первой теоремы Вейерштрасса.

1.Если функция f определена и непрерывна на отрезке [a; b]; то существует последовательность алгебраических многочленов (Pn); которая сходится к функции f равномерно на отрезке [a; b]:

2.Если функция f определена и непрерывна на отрезке [a; b]; то она

разлагается в равномерно сходящийся ряд из алгебраических многочленов.

3.8Сходимость ряда Фурье в среднем квадратич- ном.

Определение 3.8. Пусть функции f и fn; n 2 N; интегрируемы на отрезке [a; b]: Говорят, что последовательность (fn) сходится в среднем к функции f на отрезке [a; b]; если

46

Задание. Доказать, что из равномерной сходимости последовательности (fn) к функции f на отрезке [a; b] вытекает сходимость в среднем квадратичном.

Теорема 3.8.1. Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]: Тогда при любом > 0 существует такая непрерывная на отрезке функция g; принимающая заданные значения в точках a и b; что

b

Z

f(x) g(x) 2dx < :

a

Доказательство. Рассмотрим произвольное разбиение P отрезка [a; b] :

a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b:

Так как функция f интегрируема, то она ограничена, т. е. jf(x)j M при всех x 2 [a; b]: Согласно критерию интегрируемости

n

X

lim !i xi = 0:

d!0

i=1

Определим функцию g(x) следующим образом: на каждом из отрезков

[xi 1; xi] функция g(x) является линейной, принимающей заданные зна- чения в точках x0 = a è xn = b изначения g(xi) = f(xi) при i = 1; : : : ; n 1: Очевидно, что функция g(x) непрерывна на отрезке [a; b]; и на каждом отрезке [xi 1; xi]; i = 2; : : : ; n 1; справедливо неравенство

jf(x) g(x)j !i;

откуда

2

f(x) g(x) jf(x) + jg(x)j jf(x) g(x)j 2M!i:

На отрезках [x0; x1]; [xn 1; xn] имеем

f(x) g(x) 2 jf(x) + jg(x)j 2 (M + M1)2;

47

ãäå M1 = max(M; jg(a)j; jg(b)j): Поэтому

n 1

X

2M !i xi + 2(M + M1)2d:

i=2

Правая часть неравенства стремится к нулю при d ! 0: Следовательно, при любом > 0 найдется такое разбиение P отрезка [a; b]; что

b

Z

f(x) g(x) 2dx < :

a

Теорема 3.8.2. ( о наилучшем приближении). Пусть функция f интегрируема на отрезке [ ; ]: Тогда среди всех тригонометрических многочленов порядка не выше n наименьшее среднее квадратическое отклонение от функции f имеет n-ая частная сумма ее ряда Фурье

n

Sn(x) = a20 + X ak cos kx + bk sin kx :

k=1

Ïðè ýòîì

Доказательство. Рассмотрим произвольный тригонометрический многочлен порядка не выше n

n

T (x) = p20 + X pk cos kx + qk sin kx

k=1

и вычислим среднее квадратическое отклонение Tn(x) îò f(x) :

48

(мы воспользовались свойством ортогональности тригонометрической системы), откуда

Следовательно,

49

Остались заметить, что величина rn(x) минимальна, если выражение

Следствие. Неравенство Бесселя.Если функция f интегрируема на отрезке [ ; ]; то

Доказательство. Поскольку левая часть равенства (52) неотрийатель-

при любом n 2 N: Осталось перейти к пределу при n ! 1:

Теорема 3.8.3. Для любой функции f интегрируемой на отрезке [ ; ] справедливо равенство

50