- •Часть 3
- •Введение
- •1. Основные положения динамики и уравнения движения точки
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные аксиомы классической механики
- •1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •Частные случаи
- •1.4. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •1.5. Основные виды прямолинейного и криволинейного движения точки
- •1.6. Движение несвободной материальной точки
- •Движение точки по поверхности
- •Движение точки по гладкой кривой линии
- •1.7. Элементы теории колебаний материальной точки
- •Затухающие колебания
- •Свободные колебания
- •Вынужденные колебания
- •2. Относительное движение материальной точки
- •2.1. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •2.2. Частные случаи Относительное движение по инерции
- •Относительное равновесие
- •Инерциальные системы отсчета
- •2.3. Движение точки относительно Земли
- •Маятник Фуко
- •Отклонение движущихся тел вправо в Северном полушарии
- •Отклонение падающих тел к востоку
- •2.4. Невесомость
- •3. Геометрия масс
- •3.1. Центр масс
- •3.2. Моменты инерции
- •Моменты инерции относительно точки и оси
- •Моменты инерции относительно осей координат
- •3.3. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера))
- •3.4. Моменты инерции простейших однородных тел
- •О z' днородный стержень
- •Прямоугольная пластина
- •Круглый диск
- •Круглый цилиндр
- •3.5. Моменты инерции относительно осей, проходящих через заданную точку
- •3.6. Эллипсоид инерции
- •3.7. Свойства главных осей инерции
- •4. Общие теоремы динамики точки и системы
- •4.1. Простейшие свойства внутренних сил системы
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения системы
- •4.3. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы
- •Вычисление количества движения системы
- •Элементарный и полный импульсы силы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •Теорема о движении центра масс системы
- •Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- •4.4. Теорема об изменении кинетического момента
- •Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Теорема Резаля
- •4.5. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении
- •4.6. Потенциальное силовое поле
- •Потенциальное силовое поле и силовая функция
- •Поверхности уровня. Силовые линии
- •Потенциальная энергия
- •Силовая функция и потенциальная энергия системы
- •4.7. Закон сохранения механической энергии Закон сохранения механической энергии точки
- •Закон сохранения механической энергии системы
- •5. Принцип даламбера. Динамические реакции при вращении тела вокруг неподвижной оси
- •5.1. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •5.2. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Формулы для реакций
- •Статическая уравновешенность
- •Динамическая уравновешенность
- •Основные виды неуравновешенностей
- •6. Аналитическая механика
- •6.1. Связи и их классификация
- •6.2. Возможные перемещения
- •6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •6.4. Принцип возможных перемещений
- •6.5. Обобщенные координаты системы
- •6.6. Обобщенные силы
- •6.7. Условия равновесия системы
- •6.8. Общее уравнение динамики
- •6.9. Уравнения Лагранжа
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.7. Элементы теории колебаний материальной точки
Рассмотрим простейшие колебательные движения материальной точки с одной степенью свободы: затухающие, свободные и вынужденные прямолинейные колебания.
Затухающие колебания
П усть нужно определить закон колебания груза , прикрепленного к пружине (рис. 6) при следующих предположениях:
– вес пружины значительно меньше веса груза и им можно пренебречь;
–
Рис. 6
– груз движется по прямой, совпадающей с осью пружины;
– груз можно принять за материальную точку;
– сила сопротивления среды, как следует из опытов, при малых скоростях пропорциональна первой степени скорости. Проекция этой силы на ось имеет вид:
, (21)
где коэффициент пропорциональности определяется из эксперимента.
Для решения задачи воспользуемся координатным способом определения движения точки, направляя ось вдоль пружины. Для упрощения решения выберем начало координат в точке, в которой находится движущаяся точка в тот момент времени, когда силы упругости пружины равна весу груза. Эта точка определяет положение статического равновесия точки . Произведем анализ сил, действующих на точку в произвольный момент времени. Кроме сил тяжести , на точку действует сила упругости пружины (восстанавливающая сила) и сила сопротивления среды , которая направлена против движения груза.
Согласно закону Гука, сила упругости пружины пропорциональна ее удлинению. Коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины. Удлинение пружины состоит из статического удлинения и динамического удлинения . Статическое удлинение соответствует переходу точки в положение так называемого статического равновесия из положения , соответствующего нерастянутой пружины. Проекция силы упругости на ось равна
. (22)
Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:
, (23)
где .
Представим (23) в виде:
, (24)
где
, . (25)
Дифференциальное уравнение (24) описывает движение точки в среде с сопротивлением. Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Согласно теории интегрирования таких уравнений, составим характеристическое уравнение
. (26)
Его корни
. (27)
Из (27) видно, что возможны три вида корней, а, следовательно, три вида движения точки. Рассмотрим их.
1) (случай большого сопротивления). Корни (27) действительные и различные. Общее решение уравнения (24) имеет вид:
. (28)
Исследуем эту функцию. Из (28) следует, что при , так как
Найдем экстремум этой функции:
,
,
.
Отсюда следует, что если имеют противоположные знаки, то существует один экстремум, а если одинаковые знаки, то экстремума нет. Таким образом, графики этой функции могут быть изображены кривыми, представленными на рис. 7. В этом случае движение точки называется апериодическим.
нет экстремума один максимум один минимум
Рис. 7
2) (предельный случай).
Корни характеристического уравнения действительные и равны: . Общий интеграл находится по формуле:
. (29)
Здесь, как и в первом случае, движение апериодическое. Точка с течением времени будет стремиться к положению статического равновесия при любых начальных условиях.
3) (случай малого сопротивления).
Характеристическое уравнение имеет комплексные корни
. (30)
Общее решение уравнения (24) имеет вид:
. (31)
Для придания соотношению (31) удобного для исследования вида, положим , , т.е. вместо постоянных , введем новые постоянные и . Получим
. (32)
Постоянные и определяются из начальных условий и называются амплитудой и начальной фазой колебаний точки.
Д вижение точки, описываемое уравнением (31) или (32) называются затухающими колебаниями. Графически эти колебания можно иллюстрировать затухающей синусоидой, попеременно касающейся кривых и (рис.8).
Р
Рис. 8
.
Отсюда находим:
,
. (33)
Из (33) следует, что аргументы , двух соседних стационарных значений связаны соотношениями:
или
.
Т.к. представляет собой время одного размаха и является при малом сопротивлении величиной постоянной, то для периода колебаний получаем формулу:
. (34)
Отсюда видно, что при увеличении сопротивления период колебаний увеличивается.
Для амплитуд получаются формулы:
, . (35)
Из (35) находим:
. (36)
Из (36) видно, что величина амплитуд образует убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем Величина, обратная , т.е. , называется декрементом затухания. Эта величина характеризует быстроту затухания колебаний, т.е. быстроту убывания координаты со временем. Величина называется логарифмическим декрементом затухания.