Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения

При поступательном движении. Если твердое тело движется поступательно, то ускорения его точек одинаковы. Силы инерции этих точек составляют систему параллельных сил, направленных в одну сторону. Такая система сил приводится к равнодействующей силе , которая равна главному вектору, т. е.

.

Линия действия равнодействующей силы инерции в этом случае проходит через центр масс, так как главный момент сил инерции точек тела относительно центра масс

.

Действительно, согласно следствию из принципа Даламбера для центра масс, имеем

.

При поступательном движении тело не совершает вращения вокруг центра масс и поэтому . Следовательно,

При вращении вокруг неподвижной оси. Если выбрать за центр приведения сил инерции точку О на оси вращения Oz, то в этой точке получим главный вектор и главный момент сил инерции:

, .

Если центр масс находится на оси вращения, то . Проекции главного момента сил инерции на неподвижные оси координат в общем случае можно вычислить по формулам

, , .

(Моменты сил инерции и , если ось является главной осью инерции для точки .)

При плоском движении. Выбрав за центр приведения сил инерции центр масс, получим в этой точке главный вектор и главный момент сил инерции. Для главного вектора сил инерции имеем

.

Для данного момента сил инерции относительно центра масс , который является движущейся точкой при плоском движении тела, получим формулы, аналогичные формуле (179), выведенной для неподвижной точки .

Согласно следствию из принципа Даламбера (177), главный момент сил инерции относительно центра масс удовлетворяет условию

.

С другой стороны, из теорем об изменении кинетического момента относительно центра масс для абсолютного и относительного движений имеем

, .

Из этих соотношений следует

.

Проекции главного момента на оси координат с началом в центре масс и движущиеся поступательно вместе с центром масс соответственно

, , ,

где ось перпендикулярна плоскости, параллельно которой совершают движение точки тела.

Моменты сил инерции и вычисляются так же, как и при вращении тела вокруг неподвижной оси. Они равны пулю, если ось является главной осью инерции для точки . Это, в частности выполняется, если тело имеет плоскость симметрии, проходящую через центр масс и параллельную плоскости движения тела.

5.2. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Формулы для реакций

Твердое тело. имеющее две закрепленные точки и , вращается вокруг неподвижной оси , проходящей через эти точки, под действием внешних приложенных сил (рис. 61). Освободив тело от связей в точках и , приложим к телу силы реакций связей и , проекции которых на оси координат обозначим соответственно , , и , , . Эти силы тоже являются внешними силами для тела.

П

Рис. 61

риложив к точкам тела силы инерции, применим к телу следствия из принципа Даламбера для системы, считая, что тело разбито на частиц (малых), принимаемых за точки. Для этого следует приравнять нулю главный вектор и главный момент всех внешних сил и сил инерции точек тела. Имеем

, (185)

Для определения из (185) сил реакций и необходимо выразить главный вектор сил инерции и главный момент этих сил через величины, характеризующие само тело и его вращение. Для главного вектора сил инерции используем выражение

. (186)

Здесь – масса тела, – ускорение центра масс.

При вращении тела вокруг неподвижной оси ускорение любой точки тела вычисляется по формуле

, (187)

где – радиус-вектор рассматриваемой точки; – соответственно векторы углового ускорения и угловой скорости тела, направленные по оси вращения. Для центра масс в (187) вектор заменим радиусом-вектором центра масс .

Векторное произведение двух векторов выражается определителем, в первой строке которого расположены единичные векторы, направленные вдоль осей координат, а в двух других строках – проекции на оси координат векторов сомножителей. Определитель можно разложить по элементам первой строки. Получим

,

так как и . Здесь – координаты центра масс. Используя полученные величины для ускорения центра масс , имеем

, (187')

так как , .

Из (186) с учетом (187') для проекций главного вектора сил инерции на оси координат получаем выражения

,

, (188)

.

Формулы (188) можно применять не только для главного вектора сил инерции, но и для силы инерции отдельной точки тела. Для этого следует массу тела в них заменить массой точки , а координаты центра масс – координатами точки. Так, для силы инерции -ой точки , согласно (188), имеем

,

, (188')

.

Проекции главного момента сил инерции относительно точки на оси вращения на оси координат вычисляем по формулам для моментов сил относительно этих осей. Используя (188') и вынося за знаки сумм, получаем:

,

,

,

где , , – центробежные и осевой моменты инерции. Получены формулы для вычисления проекций главного момента сил инерции на координатные оси:

, , . (189)

При выводе формул (188) и (189) для проекций главного вектора и главного момента сил инерции на оси координат не делалось никаких предположений относительно этих осей. Они могут быть как неподвижными осями, относительно которых рассматривается вращение тела, так и подвижными осями, скрепленными с вращающимся телом. Поэтому эти формулы можно применять как для неподвижных осей координат, так и для осей координат, вращающихся вместе с телом.

Из (185) в проекциях на координатные оси с учетом (188) и (189) получаем следующую систему уравнений для определения проекций полных реакций , , и , , :

, (190)

так как , .

В последнее уравнение системы (190) не входят силы реакций закрепленных точек. Это уравнение является уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси . Из него по заданным силам определяется угловое ускорение , если известен момент инерции тела относительно оси вращения. По угловому ускорению интегрированием определяется угловая скорость, если известно ее значение в начальный момент. Для определения шести неизвестных проекций сил реакций остается пять уравнений. Система уравнений (190) не позволяет определить каждую из неизвестных и . Из третьего уравнения системы можно определить только сумму этих неизвестных. Для того чтобы из этой системы можно было определить все неизвестные, необходимо закрепить тело в точках и так, чтобы неизвестных проекций сил реакций в них было не более пяти.

Разложим полные реакции и на статические и динамические составляющие:

, .

Статическими реакциями , , называют части полных реакций, которые статически уравновешивают приложенные внешние силы. Уравнение для их определения получим из первых пяти уравнений системы (190), положив в них и . Имеем

, (191)

В векторной форме (191) принимают вид

. (191')

Это известные из статики уравнения равновесия для сил, приложенных к твердому телу, имеющему неподвижную ось вращения. Но под действием приложенных внешних сил тело может вращаться вокруг неподвижной оси . От вращения у точек тела возникнут силы инерции. Части полных реакций , , которые уравновешивают силы инерции точек тела, называют динамическими реакциями.

Уравнения для определения динамических реакций получим из первых пяти уравнений системы (190), если учтем, что приложенные внешние силы уравновешены статическими реакциями. Получим

. (192)

В векторной форме (162) принимают вид

, (192')

Составляющих динамических реакций опор в направлении оси вращения не возникает, так как у точек тела нет составляющих сил инерции в этом направлении. В неподвижных точках тела имеются только поперечные по отношению к оси вращения составляющие динамических реакций. Это справедливо при любом закреплении точек и , позволяющем телу вращаться вокруг оси, проходящей через эти точки. Из системы уравнений (192) определяются все проекции динамических реакций на оси координат.