1.5. Основные виды прямолинейного и криволинейного движения точки

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси , согласно (11), имеет вид

, (11')

если рассматривается случай зависимости силы только от времени, координаты или скорости.

Начальные условия можно задать в форме

: , .

Наиболее важные случаи прямолинейного движения материальной точки получаются тогда, когда сила постоянна или она зависит только от времени, или от координаты , или от скорости . Если сила постоянна, имеем случай равнопеременного движения, т.е. движения с постоянным ускорением. От времени сила зависит обычно, когда ее изменяют путем регулирования, например регулируют силу тяги самолета изменением режима работы его двигателей.

Силу, зависящую от координаты , могут создать сжатая или растянутая пружина и другие упругие тела при их деформации. Силы, зависящие от скорости движения, – это прежде всего силы сопротивления, когда материальная точка движется в какой-либо среде, например в воздухе, в воде и т.д.

Отметим, что в перечисленных случаях интегрирование дифференциального уравнения (11') выполняется наиболее просто и его можно довести до конца в квадратурах. В более общем случае, если сила одновременно зависит от времени t, координаты и от скорости , в большинстве случаев дифференциальное уравнение можно проинтегрировать лишь приближенно.

В случае криволинейного движения по плоскости имеется два дифференциальных уравнения движения точки в декартовой системе координат, а в общем случае движения в пространстве – система трех дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения криволинейного движения точки интегрируются сравнительно просто, если каждое из этих уравнений интегрируется независимо от других уравнений и при этом возможен один из трех рассмотренных случаев зависимости проекции равнодействующей силы от времени, координаты и скорости.

1.6. Движение несвободной материальной точки

Как уже известно, основной закон динамики для несвободной материальной точки, а следовательно, и ее дифференциальные уравнения движения имеют такой же вид, как и для свободной точки, только к действующим на точку силам добавляют все силы реакций связей. Естественно, что в этом случае движения точки могут возникнуть соответствующие особенности при решениях первой и второй основных задач динамики, так как силы реакций связей заранее не известны и их необходимо дополнительно, определить по заданным связям, наложенным на движущуюся материальную точку.

При решении первой основной задачи динамики действующая на точку равнодействующая сила определяется по заданному движению точки из дифференциальных уравнений ее движения. Затем из этой равнодействующей силы по заданным связям выделяют силу реакции связей. Таким образом получается задача о разложении силы на ее составляющие.

Полную силу реакции точки при ее движении обычно разлагают на две составляющие. Составляющая силы реакции связей, уравновешивающая заданные силы, приложенные к точке, называется статической реакцией. Другая составляющая полной силы реакции, зависящая только от движения точки под действием заданных сил, называется динамической реакцией. Она уравновешивает силу инерции движущейся точки.

При решении второй основной задачи динамики, когда по заданным силам и начальным условиям требуется определить движение несвободной точки, часть сил, действующих на точку, а именно все силы реакций связей, заранее не известны и их необходимо определить по заданным связям в процессе решения задачи. Таким образом, вторую основную задачу динамики для несвободной материальной точки можно сформулировать так: по заданным силам, начальным условиям и связям, наложенным на точку, определить движение точки и силы реакции связей.

Рассмотрим решение этой задачи для движения точки по поверхности и кривой линии. Дифференциальные уравнения при этом выражают в той системе координат, которая наиболее соответствует конкретной задаче. Разберем постановку и решение задачи в прямоугольной декартовой системе координат.