6.6. Обобщенные силы
Запишем сумму элементарных работ сил, действующих на точки системы, на возможном перемещении системы:
. (208)
Пусть
голономная система имеет
степеней свободы и, следовательно, ее
положение в пространстве определяется
обобщенными координатами
.
Тогда для
,
согласно (207), имеем
. (207')
Подставляя
(207') в (208) и изменяя порядок суммирования
по индексам
и
,
получим
. (208')
где скалярная величина
называется
обобщенной
силой, отнесенной к обобщенной координате
.
Используя известное выражение для
скалярного произведения двух векторов,
сообщенную силу можно также представить
в виде
,
(209)
– проекции
силы на оси координат;
– координаты точки приложения силы.
Размерность
обобщенной силы в соответствии с (208')
следующим образом зависит от размерности
,
совпадающей с размерностью
:
, (210)
т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы силы (энергии) или момента силы, деленной на размерность обобщенной координаты, к которой отнесена обобщенная сила. Если обобщенная координата имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы. В том случае, когда обобщенная координата равна 1, что имеет место, если в качестве обобщенной координаты выбран угол, то размерность обобщенной силы – момент силы.
Этот случай часто встречается при решении практических задач.
Вычисление обобщенной силы.
1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле (179), ее определяющей, т.е.
.
2. Обобщенные силы можно вычислять как коэффициенты при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (208'), т. е.
.
(209')
3.
Наиболее целесообразен способ вычисления
обобщенных сил, который получается из
(209'), если системе сообщить такое возможное
перемещение, при котором изменяется
только одна обобщенная координата, а
другие при этом не изменяются. Так, если
,
а остальные
,
то из (209') имеем
.
Индекс
указывает, что сумма элементарных работ
вычисляется на возможном перемещении,
при котором изменяется (варьируется)
только координата
.
Если варьируемой координатой является
,
то
. (211)
4. Для потенциальных сил по их определению имеем:
, , , ( ), (212)
где – силовая функция, зависящая от координат точек системы и. следовательно, через них – от обобщенных координат, т. е.
. (213)
В случае нестационарных силовых полей, которые дальше не рассматриваются, силовая функция может еще явно зависеть от времени.
Для обобщенной силы, согласно ее определению, с учетом (212) и (213) имеем
.
.
В случае существования силовой функции
. (214)
так как потенциальная энергия системы связана с силовой функцией соотношением .
Итак, обобщенная сила равна частной производной от силовой функции по соответствующей обобщенной координате.
6.7. Условия равновесия системы
Условия равновесия системы выводятся из принципа возможных перемещений. Они применимы к системам, для которых этот принцип справедлив. Согласно принципу возможных перемещений, условие
является необходимым и достаточным для равновесия системы. Но в соответствии с (2099')
.
Следовательно, необходимым и достаточным условием равновесия является равенство
. (215)
Так
как обобщенные координаты независимы,
то их вариации
являются тоже независимыми, произвольными,
бесконечно малыми величинами. Можно
принять
,
а остальные
,.
Тогда из (215) получим
.
Аналогичную процедуру применим к
остальным обобщенным силам. Таким
образом, из (215) получаем следующие
условия равновесия системы:
. (216)
Т.е. для равновесия механической системы, подчиненной голономным, стационарным, идеальным и неосвобождающим связям, в момент, когда скорости всех точек системы равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю.
О голономности связей условились при введении обобщенных координат и обобщенных сил, а также при определении числа степеней свободы. Другие условия для связей входят в формулировку самого принципа возможных перемещений.
В статике для равновесия свободного твердого тела, имеющего шесть степеней свободы, было получено шесть условий равновесия для приложенных к телу сил. Эти условия можно получить также приравняв нулю каждую из шести обобщенных сил. Для этого следует выбрать в качестве обобщенных координат декартовы координаты какой-либо точки тела и углы поворота тела вокруг осей координат, проходящих через эту точку. Обобщенные силы, отнесенные к координатам , превратятся соответственно в суммы проекций приложенных сил на эти оси, а обобщенные силы, отнесенные к углам поворота вокруг осей координат, – в суммы моментов сил относительно этих осей.
Условия равновесия (216) для системы, находящейся под действием потенциальных сил, вместе с (214) дадут следующие условия для силовой функции:
,
,
,
. (216')
т.е. все частные производные от силовой функции по обобщенным координатам равны нулю. Это является необходимым условием существования экстремума силовой функции. Таким образом, при равновесии механической системы, находящейся под действием потенциальных сил, силовая функция и потенциальная энергия могут достигать экстремума.