4. Общие теоремы динамики точки и системы

4.1. Простейшие свойства внутренних сил системы

Механической системой называется любая совокупность материальных точек.

Внешними силами механической системы называются силы, с которыми действуют на точки системы тела и точки, не входящие в рассматриваемую систему.

Внутренними силами механической системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы.

Внешнюю силу, приложенную к какой-либо -ой точке системы, обозначим , а внутреннюю – . Заметим, что внутренние и внешние силы могут включать в себя как активные силы, так и силы реакций связей.

Рассмотрим некоторые простейшие свойства внутренних сил, действующих на механическую систему в любом ее состоянии. Докажем, что главный вектор всех внутренних сил системы и главный момент этих сил относительно произвольной точки равны нулю при любом состоянии системы, т. е. при ее равновесии и при произвольном движении.

П

Рис. 30

усть система состоит из точек, где любое число (рис. 30). Условимся пределы у суммы не ставить, когда суммирование производится по всем точкам системы. Если рассмотреть какие-либо две произвольные точки системы, например и , то для них , так как силы действия и противодействия всегда равны друг другу по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой линии, соединяющей взаимодействующие точки. Главный вектор внутренних сил состоит из векторной суммы таких сил действия и противодействия, так как вся система состоит из пар взаимодействующих точек. Следовательно,

. (86)

В проекциях на координатные оси

,

,

. (86')

Внешние силы тоже являются силами взаимодействия, но для них силы действия приложены к точкам рассматриваемой системы, а силы противодействия приложены к телам и точкам, не входящим в эту систему.

Рассмотрим теперь сумму моментов сил и относительно точки . Легко видеть, что

,

так как обе силы имеют одинаковые плечи и противоположные направления векторных моментов. Главный момент внутренних сил относительно точки состоит из векторной суммы таких выражений, равных нулю, т.е.:

(87)

и соответственно в проекциях на координатные оси

,

,

. (87')

4.2. Дифференциальные уравнения движения системы

Пусть даны внешние и внутренние силы, действующие на систему, состоящую из точек (рис. 31). Если к каждой точке системы приложить равнодействующую силу внешних сил и равнодействующую силу всех внутренних сил то для любой -й точки системы можно составить дифференциальное уравнение движения, например, в векторной форме, т. е.

Рис. 31

, ( ). (88)

Систему дифференциальных уравнений (88) называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. Если спроецировать векторные дифференциальные уравнения (88) на прямоугольные декартовы оси координат, то получим систему дифференциальных уравнений, описывающих движение точек механической системы.

Для нахождения движения механической системы по заданным силам и начальным условиям для каждой точки системы нужно проинтегрировать, следовательно, систему дифференциальных уравнений. Эту задачу не удается точно решить в общем случае даже для одной точки. Она исключительно трудна в случае двух материальных точек, которые движутся только под действием сил взаимодействия по закону всемирного притяжения (задача о двух телах) и совершенно неразрешима в случае трех взаимодействующих точек (задача о трех телах).

Задача интегрирования дифференциальных уравнений механической системы еще сложнее, если на механическую систему наложены связи, силы реакций которых заранее не известны и должны быть дополнительно определены по заданным силам и связям аналогично случаю движения несвободной материальной точки по поверхности и кривой линии.

В некоторых случаях из дифференциальных уравнений движения системы можно получить первые интегралы, т.е. соотношения, в которые не входят производные второго порядка от координат по времени.

Если известны первые интегралы, то задача интегрирования системы дифференциальных уравнений облегчается. Хотя отдельные первые интегралы и не могут полностью описать движения всех точек системы, однако они иногда характеризуют важные стороны движения системы в целом.

Первые интегралы системы дифференциальных уравнений удобно получать из так называемых общих теорем динамики, когда выполняются некоторые дополнительные условия для действующих сил. Кроме того, общие теоремы динамики, даже когда по ним нельзя определить первые интегралы, дают ценную информацию о движении точки или системы. В некоторых задачах, где не требуется полного знания движения системы, эти сведения могут оказаться достаточными.

Общие теоремы динамики являются следствиями системы дифференциальных уравнений движения точки или соответственно системы точек.