3. Геометрия масс

3.1. Центр масс

П

Рис. 13

Рис. 17

ри рассмотрении движения твердых тел и других механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс. Если механическая система состоит из конечного числа материальных точек с массами , радиусы-векторы которых , проведенные из одной и той же точки , (рис. 17), то центром масс называется геометрическая точка , радиус-вектор которой определяется выражением

, (59)

где – масса системы. Обозначая декартовы координаты материальных точек ,…, , из (59) проецированием на декартовы оси координат получим следующие формулы для координат центра масс:

, , . (59')

Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Он может не совпадать ни с одной материальной точкой системы, как, например, в случае кольца. Центр масс системы характеризует распределение масс в системе.

Векторная величина называется статическим .моментом массы относительно точки О. Скалярная величина называется статическим моментом массы относительно координатной плоскости . Величины и являются соответственно статическими моментами массы относительно координатных плоскостей и .

Радиус-вектор и координаты центра масс через статические моменты массы выражаются формулами

, , , .

Если механическая система представляет собой сплошное тело, то его разбивают на элементарные частицы с бесконечно малыми массами и с изменяющимися от частицы к частице радиусом-вектором .

Суммы в пределе переходят в интегралы. Формулы (59) и (59') принимают форму:

, (60)

, , , (60')

где – масса тела.

Для однородных сплошных тел , , где – плотность тела, общая для всех элементарных частиц, – объем элементарной частицы, – объем тела.

Для тел типа тонкого листа, которые можно принять за однородные материальные поверхности, , , где – поверхностная плотность, – площадь поверхности элементарной частицы; – площадь поверхности.

Для тонкой проволоки, которую можно принять за отрезок линии, , , где – линейная плотность, – длина элемента линии; – длина отрезка линии.

В этих случаях определение центра масс тел сводится к вычислению центра масс объемов, площадей и длин линий соответственно.

3.2. Моменты инерции

Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции.

Моменты инерции относительно точки и оси

М оментом инерции механической системы, состоящей из материальных точек, относительно точки называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до точки (рис. 18), т. е.

. (61)

М

Рис. 18

омент инерции относительно точки часто называют полярным моментом инерции. В случае сплошного тела сумма переходит в интеграл и для полярного момента инерции имеем:

, (61')

где – масса элементарной частицы тела (в пределе точка); – ее расстояние до точки .

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси (рис. 18):

. (62)

В частном случае сплошного тела сумму следует заменить интегралом:

, (62')

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции. Радиус инерции , относительно оси определяется но формуле

, (63)

где – масса тела.

Момент инерции относительно оси через радиус инерции относительно этой оси определяется выражением

, (63')

В справочниках но моментам инерции приводят таблицы значений радиусов инерции различных тел.

Формула (63') позволяет считать радиус инерции тела относительно оси расстоянием от этой оси до такой точки, в которой следует поместить массу тела, чтобы ее момент инерции оказался равным моменту инерции тела относительно рассматриваемой оси.

Моменты инерции относительно оси и точки имею одинаковую размерность – произведение массы на квадрат длины .

Кроме моментов инерции относительно точки и оси используются также моменты инерции относительно плоскостей и центробежные моменты инерции. Эти моменты инерции удобно рассмотреть относительно координатных плоскостей и осей декартовой системы координат.