- •Часть 3
- •Введение
- •1. Основные положения динамики и уравнения движения точки
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные аксиомы классической механики
- •1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •Частные случаи
- •1.4. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •1.5. Основные виды прямолинейного и криволинейного движения точки
- •1.6. Движение несвободной материальной точки
- •Движение точки по поверхности
- •Движение точки по гладкой кривой линии
- •1.7. Элементы теории колебаний материальной точки
- •Затухающие колебания
- •Свободные колебания
- •Вынужденные колебания
- •2. Относительное движение материальной точки
- •2.1. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •2.2. Частные случаи Относительное движение по инерции
- •Относительное равновесие
- •Инерциальные системы отсчета
- •2.3. Движение точки относительно Земли
- •Маятник Фуко
- •Отклонение движущихся тел вправо в Северном полушарии
- •Отклонение падающих тел к востоку
- •2.4. Невесомость
- •3. Геометрия масс
- •3.1. Центр масс
- •3.2. Моменты инерции
- •Моменты инерции относительно точки и оси
- •Моменты инерции относительно осей координат
- •3.3. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера))
- •3.4. Моменты инерции простейших однородных тел
- •О z' днородный стержень
- •Прямоугольная пластина
- •Круглый диск
- •Круглый цилиндр
- •3.5. Моменты инерции относительно осей, проходящих через заданную точку
- •3.6. Эллипсоид инерции
- •3.7. Свойства главных осей инерции
- •4. Общие теоремы динамики точки и системы
- •4.1. Простейшие свойства внутренних сил системы
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения системы
- •4.3. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы
- •Вычисление количества движения системы
- •Элементарный и полный импульсы силы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •Теорема о движении центра масс системы
- •Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- •4.4. Теорема об изменении кинетического момента
- •Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Теорема Резаля
- •4.5. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении
- •4.6. Потенциальное силовое поле
- •Потенциальное силовое поле и силовая функция
- •Поверхности уровня. Силовые линии
- •Потенциальная энергия
- •Силовая функция и потенциальная энергия системы
- •4.7. Закон сохранения механической энергии Закон сохранения механической энергии точки
- •Закон сохранения механической энергии системы
- •5. Принцип даламбера. Динамические реакции при вращении тела вокруг неподвижной оси
- •5.1. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •5.2. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Формулы для реакций
- •Статическая уравновешенность
- •Динамическая уравновешенность
- •Основные виды неуравновешенностей
- •6. Аналитическая механика
- •6.1. Связи и их классификация
- •6.2. Возможные перемещения
- •6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •6.4. Принцип возможных перемещений
- •6.5. Обобщенные координаты системы
- •6.6. Обобщенные силы
- •6.7. Условия равновесия системы
- •6.8. Общее уравнение динамики
- •6.9. Уравнения Лагранжа
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Движение точки по поверхности
Пусть гладкая неподвижная поверхность, по которой движется точка массой под действием данной силы , задана уравнением , где – координаты движущейся точки. Так как рассматриваемая поверхность является гладкой, то сила трения отсутствует. Обозначив неизвестную нормальную силу реакции поверхности, получим следующие дифференциальные уравнения движения точки по поверхности:
; ; . (17)
Из дифференциальной геометрии известно, что косинусы углов внешней нормали к поверхности с осями координат, а следовательно, и силы , параллельной главной нормали, можно вычислить по формулам:
; ; ,
где
.
Таким образом
;
; (18)
.
Обозначив и подставив значения , из (18) в (17), получим
; ; .
Эти дифференциальные уравнения называют дифференциальными уравнениями Лагранжа первого рода для движения несвободной материальной точки. Из этих трех дифференциальных уравнений и одного конечного уравнения поверхности можно найти четыре неизвестных - координаты точки и неопределенный множитель Лагранжа как функции времени и произвольных постоянных интегрирования. Произвольные постоянные определяют из начальных условий.
По найденному неопределенному множителю Лагранжа легко определить силу реакции поверхности , которая в общем случае зависит от времени.
Если поверхность не гладкая, то кроме нормальной силы реакции возникает предельная сила трения . проекции которой надо добавить в правые части дифференциальных уравнений движения точки. Это добавление усложнит решение задачи, но задача и в этом случае принципиально разрешима, так как наряду с добавлением неизвестной силы добавляется и конечное уравнение, связывающее эту силу с нормальной реакцией:
,
где – коэффициент трения.
Так как сила трения скольжения всегда направлена против скорости, то проекции этой силы на оси координат можно представить в виде
;
аналогично
; .
Учет силы трения значительно усложняет задачу интегрирования дифференциальных уравнений движения несвободной материальной точки.
Движение точки по гладкой кривой линии
Кривую неподвижную линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей: и . Эти поверхности создадут для движущейся точки две нормальные реакции и , и поэтому полная реакция кривой линии .
Дифференциальные уравнения Лагранжа первого рода движения точки по кривой линии имеют вид
;
; (19)
.
Где соответственно:
, , ,
.
Присоединяя к дифференциальным уравнениям Лагранжа первого рода (19) два конечных уравнения поверхностей и , получаем пять уравнений для определения пяти величин как функций времени. Таким образом, и в этом случае поставленная задача может быть разрешена. Она принципиально разрешима и при учете силы трения.
Если при рассмотрении этой задачи за оси координат взять естественные оси, то дифференциальные уравнения движения точки по гладкой кривой примут вид:
, , , (20)
где – проекция силы на касательную; – проекции сил на главную нормаль; – проекции сил на бинормаль; – радиус кривизны кривой линии.
Из первого дифференциального уравнения системы (20) независимо от двух других уравнений можно найти закон движения точки и, следовательно, скорость точки . После этого из двух оставшихся уравнений (20) можно определить проекции неизвестной нормальной реакции соответственно на главную нормаль и бинормаль.