Моменты инерции относительно осей координат

Моменты инерции относительно декартовых осей координат , и и их начала – точки (рис. 19) – о пределяются выражениями:

,

,

, (64)

Рис. 19

, (65)

где – координаты материальных точек системы. Для сплошных тел эти формулы примут вид

, ,

, .

Из приведенных формул следует зависимость

. (66)

Если через точку провести другую систему декартовых осей координат . то для них по формуле (36) получим:

. (66')

Из сравнения (66) и (66') следует, что

.

Сумма моментов инерции относительно декартовых осей координат не зависит от ориентации этих осей в рассматриваемой точке, т.е. является величиной, инвариантной по отношению к направлению осей координат.

Для осей координат можно определить следующие три центробежных момента инерции:

, , . (67)

Центробежные моменты инерции часто называют произведениями инерции.

Моменты инерции относительно осей и точек – величины положительные, так как в них входят квадраты координат. Центробежные моменты инерции содержат произведения координат и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Центробежные моменты инерции имеют важное значение при рассмотрении давлений на подшипники при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях.

Кроме рассмотренных моментов инерции иногда используются моменты инерции относительно координатных плоскостей , , , которые определяются выражениями:

, , .

3.3. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера))

У

Рис. 20

становим зависимость между моментами инерции системы относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Пусть имеем две системы прямоугольных, взаимно параллельных осей координат и . Начало системы координат находится в центре масс системы (рис. 20).

По определению момента инерции относительно оси имеем:

, ,

где – масса точки , а и – координаты этой точки относительно систем и соответственно.

Если обозначить – координаты центра масс относительно системы координат , то для взаимно параллельных осей координаты одной и той же точки связаны соотношениями параллельного переноса

, , .

Подставим эти значения координат в выражение момента инерции . После преобразований получим:

.

Здесь – масса системы, и , т.к. и , т.к. по условию центр масс находится в начале координат этой системы координат.

Величина , где – расстояние между осями и . Окончательно

.

Связь моментов инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, составляет содержание так называемой теоремы Штейнера или Гюйгенса–Штейнера: момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями.

Из теоремы Штейнера следует, что для совокупности параллельных осей момент инерции является наименьшим относительно оси, проходящей через центр масс.

Если взять ось параллельной , то для нее

,

где – расстояние между осями и .

Исключая момент инерции из двух последних формул, получим зависимость моментов инерции относительно двух параллельных осей, не проходящих через центр масс:

.

Установим изменение центробежных моментов инерции при параллельном переносе осей координат. Имеем

.

Учитывая, что , , , , получаем

,

где координаты центра масс относительно системы координат . Аналогичные формулы получаются для двух других центробежных моментов инерции:

,

.

'Гак как начало системы координат находится в центре масс, то , , и тогда

,

, (68)

,

т.е. центробежные моменты инерции при параллельном переносе осей координат из любой точки в центре масс изменяются в соответствии с (68).

Если производится параллельный перенос осей из точки , в центр масс, то, согласно (68), имеем:

,

, (68')

.

Исключая из (68) и (68') центробежные моменты инерции , , получим формулы для изменения центробежных моментов инерции при параллельном переносе осей координат из точки в точку :

,

,

,

где и – координаты центра масс в двух системах взаимно параллельных осей координат.