4.3. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы

Одной из мер движения точки или системы является количество их движения.

Количеством движения материальной точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее скорость , т. е.

. (89)

Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат:

, , . (89')

Количеством движения системы называют векторную сумму количеств движений отдельных точек систем, т. е.

, (90)

и, следовательно, проекции количества движения системы на прямоугольные декартовы оси координат

, , . (90')

Вектор количества движения системы в отличие от вектора количества движения точки не имеет точки приложения. Вектор количества движения точки считается приложенным в самой движущейся материальной точке, а вектор является свободным вектором.

Вычисление количества движения системы

Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс :

. (91)

В проекциях на прямоугольные декартовы оси соответственно

,

,

. (91')

где – координаты центра масс системы. Выведем формулу (91), учитывая, что масса системы не изменяется при движении системы:

, (92)

где – радиус-вектор -й точки системы (рис. 32).

По формуле для радиуса-вектора центра масс,

. (93)

Подставляя значение статического момента массы (93) в (92), имеем

.

Элементарный и полный импульсы силы

Д

Рис. 32

ействие силы на материальную точку в течение времени можно охарактеризовать так называемым элементарным импульсом силы . Полный импульс силы за время , или импульс силы , определяют по формуле

. (94)

Проекции импульса силы на прямоугольные оси координат выражаются формулами

, , . (94')

Теорема об изменении количества движения точки

Дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы можно представить в следующей векторной форме:

.

Так как масса точки принята постоянной, то ее можно внести под знак производной. Тогда

. (95)

Формула (95) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.

В проекциях на координатные оси (95) можно представить в виде

, , . (95')

Если обе части (95) умножить на , то получим другую форму этой же теоремы – теорему импульсов в дифференциальной форме:

, (96)

т.е. дифференциал от количества движения точки решен элементарному импульсу силы, действующей на точку. Проецируя обе части (96) на координатные оси, получаем

, , . (96')

И нтегрируя обе части (96) в пределах от нуля до (рис. 33), имеем

, (97)

где – скорость точки в момент ; – скорость при ; – импульс силы за время .

В

Рис. 33

ыражение в форме (97) часто называют теоремой импульсов в конечной (или интегральной) форме: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за тот же промежуток времени. В проекциях на координатные оси эту теорему можно представить в следующем виде:

, , . (97')

Для материальной точки теорема об изменении количества движения в любой из форм, по существу, не отличается от дифференциальных уравнений движения точки.