II. Моменты силы относительно точки и оси

Для рассмотрения различных систем сил необходимо ввести понятия алгебраического и векторного моментов силы относительно точки и момента силы относительно оси. Введем эти характеристики действия силы на твердое тело и рассмотрим их свойства.

§ 1. Алгебраический момент силы относительно точки

П ри рассмотрении плоской системы сил, приложенных к твердому телу, используется понятие алгебраического момента силы относительно точки.

А

Рис. 15

лгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки (рис. 15), взятое со знаком плюс или минус.

Плечом силы относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т.е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы .

Обозначим или алгебраический момент силы относительно точки О. Тогда

. (7)

Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берем знак плюс, если по часовой стрелке – знак минус.

Алгебраический момент силы представляет собой произведение силы на длину (в СИ – ).

Из определения алгебраического момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль ее линии действия. Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю. Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:

. (8)

§ 2. Векторный момент силы относительно точки

При рассмотрении пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, применяется понятие векторного момента силы относительно точки.

Векторным моментом силы относительно точки называют вектор, приложенный в этой точке и равный по модулю произведению силы на плечо силы относительно этой точки. Векторный момент силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки (рис. 16).

Плечом силы относительно точки О называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.

Условимся векторный момент силы относительно точки О обозначать , а его числовую величину – . Тогда, согласно определению,

.

К ак и для алгебраического момента, векторный момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:

.

С

Рис. 16

праведлива формула

, (9)

где – радиус-вектор, проведенный из моментной точки О в точку приложения силы или любую другую точку линии действия силы.

Чтобы убедиться в справедливости формулы (9), достаточно показать, что по величине и направлению выражает векторный момент силы относительно точки О. По определению векторного произведения двух векторов известно, что

.

Как показано на рис. 16, , причем это равенство справедливо для любой точки линии действия, куда проведен радиус-вектор . Итак,

,

что совпадает с векторным моментом силы относительно точки О. Вектор , как известно, перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , т.е. плоскости треугольника ОАВ, которой перпендикулярен векторный момент .

Н аправление тоже совпадает с направлением . Заметим, что векторный момент силы относительно точки считается вектором, приложенным к этой точке.

Векторный момент силы относительно точки не изменяется от переноса силы вдоль ее линии действия. Он станет равным нулю, если линия действия силы пройдет через моментную точку.

Е

Рис. 17

сли сила дана своими проекциями на оси координат и даны координаты точки приложения этой силы (рис. 17), то векторный момент относительно начала координат, согласно формуле (9), после разложения по осям координат вычисляется по формуле

, (10)

где – единичные векторы, направленные по осям координат.

Используя формулу (10), можно выделить проекции на оси координат:

(11)

Модуль векторного момента и косинусы углов его с осями координат определяем по формулам:

. (12)

В формулах (12) числовую величину берем со знаком плюс.