- •Часть 1
- •Введение
- •I. Основные понятия и аксиомы. Сходящиеся силы
- •§ 1. Основные понятия и определения
- •§ 2. Аксиомы статики
- •§ 3. Простейшие теоремы статики
- •§ 4. Система сходящихся сил
- •П риведение к равнодействующей силе
- •Условия равновесия системы сходящихся сил
- •Проецирование силы на оси координат
- •II. Моменты силы относительно точки и оси
- •§ 1. Алгебраический момент силы относительно точки
- •§ 2. Векторный момент силы относительно точки
- •§ 3. Момент силы относительно оси
- •§ 4. Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси
- •§ 5. Формулы для моментов силы относительно осей координат
- •III. Теория пар сил
- •§ 1. Пара сил и алгебраический момент пары сил
- •§ 2. Теорема об эквивалентности двух пар сил, расположенных в одной плоскости
- •§ 3. Теорема об эквивалентности двух пар сил, расположенных в одной плоскости
- •§ 4. Векторный момент пары сил
- •§ 5. Эквивалентность пар сил
- •§ 6. Теорема о сумме моментов сил пары
- •§ 7. Сложение пар сил
- •§ 8. Равновесие пар сил
- •IV. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия
- •§ 1. Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил
- •Приведение силы к заданному центру
- •П риведение произвольной системы сил к силе и паре сил
- •Приведение плоской системы сил
- •Формулы для вычисления главного вектора и главного момента
- •§ 2. Условия равновесия системы сил Условия равновесия системы сил в векторной форме
- •Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме
- •Условия равновесия пространственной системы параллельных сил
- •Условия равновесия плоской системы сил
- •V. Плоская система сил. Теорема вариньона
- •§ 1. Частные случаи приведения плоской системы сил
- •Случай приведения к равнодействующей силе
- •Случай приведения к паре сил
- •§ 2. Теорема о моменте равнодействующей силы (Теорема Вариньона)
- •§ 3. Различные формы условий равновесия плоской системы сил
- •Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия)
- •Третья форма условий равновесия
- •§ 4. Статически определимые и статически неопределимые задачи
- •§ 5. Равновесие системы тел
- •§ 6. Распределенные силы
- •Параллельные силы постоянной интенсивности, распределенные по отрезку прямой линии
- •Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону
- •Реакция заделки
- •§7. Решение задач на равновесие плоской системы сил, приложенных к твердому телу и системе тел
- •VI. Трение
- •§ 1. Трение скольжения
- •Законы Кулона
- •Угол и конус трения
- •Равновесие тела на шероховатой поверхности
- •§2. Трение качения
- •VII. Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил
- •§ 1. Изменение главного момента при перемене центра приведения
- •§ 2. Инварианты системы сил
- •§ 3. Частные случаи приведения пространственной системы сил
- •§4. Уравнение центральной винтовой оси
- •§5. Частные случаи приведения пространственной системы параллельных сил
- •§6. Центр системы параллельных сил
- •§7. Частные случаи равновесия твердого тела Равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками
- •Твердое тело с одной закрепленной точкой
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •II. Моменты силы относительно точки и оси………………... 24
- •III. Теория пар сил……………………………………………... 32
- •IV. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия…………………………………………… 44
- •V. Плоская система сил. Теорема Вариньона………………... 55
- •VI. Трение………………………………………………………. 73
- •VII. Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил………………………………………. 86
- •Библиографический список………………………………….. 104
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
§4. Уравнение центральной винтовой оси
П
Рис. 59.
, (71)
так как . Главные моменты и , согласно (64), удовлетворяют соотношению
. (64)
Подставляя из (64) в (71), получим
. (71’)
Координаты точки в которой получена динама, обозначим . Тогда проекции вектора на оси координат равны координатам . Учитывая это, (71’) можно выразить в форме
, (71”)
где – единичные векторы осей координат; а векторное произведение представлено определителем. Векторное уравнение (71”) эквивалентно трем скалярным, которые после отбрасывания можно представить в виде:
. (72)
Линейные уравнения (72) для координат являются уравнениями прямой линии – центральной винтовой оси. Следовательно, существует прямая, в точках которой система сил приводится к динаме.
§5. Частные случаи приведения пространственной системы параллельных сил
В отличие от произвольной системы сил пространственная система параллельных сил не приводится к динаме, так как для нее главный вектор и главный момент в общем случае взаимно перпендикулярны. Для доказательства этого рассмотрим пространственную систему параллельных сил, для которой главный вектор и главный момент не равны нулю. Выберем за центр приведения точку О – начало декартовой системы координат, ось которой направим параллельно силам (рис. 60). Тогда проекции главного вектора на оси координат
,
,
т
Рис. 60
.
Следовательно, главный вектор параллелен оси .
Для проекций главного момента на оси координат имеем:
, , .
Проекция главного момента на ось равна нулю, так как каждая сила параллельна этой оси.
Таким образом, главный момент расположен в плоскости , перпендикулярной главному вектору, направленному по оси . В этом случае система сил приводится к равнодействующей.
Для системы параллельных сил возможны следующие частные случаи приведения:
и – система приводится к паре сил;
и или и – система приводится к равнодействующей силе;
и – имеем равновесную систему сил.
Если главный вектор не равен нулю, то система параллельных сил приводится только к равнодействующей силе, параллельной главному вектору и равной ему по величине.
§6. Центр системы параллельных сил
Для систем параллельных сил, приводящихся к равнодействующей, введем понятие центра параллельных сил. Для этого предположим, что на твердое тело действует система параллельных сил , приводящаяся к равнодействующей, силы которой приложены в точках . При введении понятия центра параллельных сил считаем силы приложенными в точках твердого тела. При переносе сил вдоль линий действия положение центра параллельных сил изменяется.
О
Рис. 61
Линии действия двух равнодействующих сил и пересекутся в точке С, которая и называется центром параллельных сил. Если равнодействующую силу приложить в точке С вместо , то при повороте заданных параллельных сил на угол она повернется на тот же угол а вокруг оси, проходящей через точку С и параллельной осям, вокруг которых поворачиваются заданные параллельные силы. Оси поворота параллельных сил должны быть перпендикулярны параллельным силам.
Центр параллельных сил не зависит от угла поворота и направления параллельных осей, вокруг которых поворачиваются параллельные силы. Из определения центра параллельных сил следует, что его положение зависит от точек приложения параллельных сил. Поэтому параллельные силы следует считать приложенными в точках твердого тела.
Получим формулу для определения радиуса-вектора центра параллельных сил, если известны параллельные силы и радиусы-векторы точек их приложения. Для этого выберем единичный вектор , параллельный силам. Тогда каждая из параллельных сил
где – алгебраическое значение силы. Оно положительно, если сила направлена в одну сторону с единичным вектором , и отрицательно, если направление силы противоположно направлению единичного вектора.
Для равнодействующей силы параллельных сил соответственно имеем
.
Так как система параллельных сил, по предположению, приводится к равнодействующей, то к ней можно применить теорему Вариньона относительно точки О:
. (73)
Для векторных моментов сил относительно точки О имеем :
,
,
где – радиус-вектор центра параллельных сил, проведенный из точки О; – радиус-вектор точки приложения силы проведенный из той же точки (рис. 62).
Е
Рис. 62
. (73’)
Так как центр параллельных сил, а следовательно, и его радиус-вектор не зависят от направления параллельных сил, характеризуемого единичным вектором , то условие (73’) должно выполняться при любом направлении этого вектора.
Это возможно только при обращении в нуль векторной величины, стоящей в скобках, т. е.
,
или . (74)
По формуле (74) определяют радиус-вектор центра параллельных сил, если заданы эти силы и их точки приложения.
Так как алгебраические значения параллельных сил входят в числитель и в знаменатель (74), то не зависит от того, какое из двух направлений параллельных сил считается положительным.
В проекциях на оси координат из (74) получаем:
, , . (75)
По формулам (13) вычисляют координаты центра параллельных сил , если известны алгебраические значения параллельных сил и координаты точек приложения этих сил .
Векторную величину
называют статическим моментом системы параллельных сил относительно точки О. Алгебраические величины
, ,
называют статическими моментами относительно координатных плоскостей. Для плоской системы параллельных сил, расположенных, например, в плоскости Оху, вводят понятие статических моментов относительно осей координат Ох и Оу по формулам:
, .
Статические моменты параллельных сил относительно точки и координатных плоскостей определяются по единому правилу: алгебраические значения сил умножают на расстояния от точек приложения сил до точки или плоскости и результаты суммируют. Расстояния от точек приложения сил до координатных плоскостей есть величины скалярные; это соответствующие координаты этих точек. Расстояния от точки О до точек приложения параллельных сил берутся векторные. Ими являются радиусы-векторы точек приложения параллельных сил, проведенные из точки О.