Параллельные силы постоянной интенсивности, распределенные по отрезку прямой линии

Пусть на участке АВ прямой линии длиной распределены параллельные силы, интенсивность которых постоянна (рис. 39,а).

а) б)

Рис. 39

Заменим эти распределенные силы сосредоточенными. Для этого отрезок АВ разобьем на отрезки достаточно малых размеров по сравнению с его длиной. На каждый такой малый отрезок действует сила которую при достаточной малости длины отрезка , можно считать сосредоточенной силой. Заменяя полученную таким образом систему сосредоточенных параллельных сил , одной равнодействующей силой, получим

.

Равнодействующая параллельна распределенным силам и приложена вследствие симметрии распределения сил в середине отрезка АВ.

Если параллельные силы постоянной интенсивности распределены по отрезку прямой, наклоненному к распределенным силам, то модуль равнодействующей таких сил равен . Линия действия ее, параллельная распределенным силам, проходит через середину отрезка (рис. 39, б). Модуль равнодействующей в этом случае не равен площади параллелограмма, образованного прямой АВ и распределенными силами.

Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону

Рассмотрим распределенные параллельные силы, изменяющиеся по линейному закону (рис. 40, а). Обычно считают, что такие силы распределены по треугольнику. Параллельные распределенные по треугольнику силы приводятся к равнодействующей , по модулю равной

,

где – наибольшая интенсивность силы.

Это легко можно проверить путем сложения параллельных сосредоточенных сил , приложенных к каждому элементарному отрезку длиной . Наиболее просто это можно сделать путем интегрирования. Действительно,

а) б)

Рис. 40

.

Если отсчитывать от точки А, то из подобия треугольников имеем:

.

После этого, вставляя под интеграл вместо его значение, получаем:

.

Точка приложения С равнодействующей силы смещается в сторону, где интенсивность силы больше, и совпадает с центром тяжести площади треугольника, который находится в точке пересечения медиан, расположенной на расстоянии от основания треугольника и от его вершины А, т.е. . Точку приложения равнодействующей силы можно также определить вычислив момент элементарных сосредоточенных сил , например относительно точки А, и применив затем теорему Вариньона о моменте равнодействующей силы.

Имеем

.

Заменяя его значением , получаем

.

Учитывая, что , найдем

.

Если параллельные силы с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону, распределены по отрезку прямой, наклоненному к направлению сил (рис. 40, б), то их равнодействующая и делит отрезок АВ так же, как и в том случае, когда распределенные силы перпендикулярны отрезку АВ. Величина равнодействующей в этом случае не равна площади треугольника, образованного отрезком прямой АВ и распределенными силами.

В более сложных случаях распределенных сил равнодействующую силу и ее точку приложения обычно определяют путем интегрирования и применения теоремы Вариньона. Величину равнодействующей в случае непараллельных распределенных сил находят так же, как и для параллельных, только суммируют (и, следовательно, интегрируют) не элементарные сосредоточенные силы , а их проекции на оси координат. По проекциям уже вычисляют равнодействующую силу и косинусы ее углов с осями координат.