§ 3. Частные случаи приведения пространственной системы сил

Произвольная система сил приводится к силе, равной главному вектору , и паре сил, векторный момент которой равен главному моменту . В зависимости от их модулей и взаимного направления, т.е. угла между ними, можно произвести дальнейшие упрощения.

Приведение к паре сил. Если , , то система сил приводится к одной паре сил, причем главный момент в этом случае, согласно (64), не зависит от выбора центра приведения. В рассматриваемом случае оба инварианта системы сил равны нулю, т.е.

, .

Приведение к равнодействующей. Возможны два случая.

1. Если , (первый инвариант , второй – ), то система приводится к равнодействующей силе , равной по модулю и направлению главному вектору , т.е.

.

Линия действия равнодействующей силы в этом случае проходит через центр приведения.

2. Если , , но , т.е. (первый инвариант , второй – ), то система сил тоже приводится к равнодействующей, причем опять

.

Н

Рис. 54

о линия действия равнодействующей силы отстоит от центра приведения на расстоянии . Действительно, в этом случае имеем силу и пару сил с векторным моментом , причем силы пары можно считать расположенными в одной плоскости с силой , так как векторный момент пары перпендикулярен силе (рис. 54). Поворачивая и перемещая пару сил в ее плоскости, а также изменяя силы пары и ее плечо, при сохранении векторного момента можно получить одну из сил пары , равной по модулю, но противоположной по направлению главному вектору . Другая сила пары и будет равнодействующей силой. Действительно,

~ ~ , ,

так как система двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил ~0 и может быть отброшена. Таким образом, рассматриваемая система сил оказалась эквивалентной одной равнодействующей силе , которая по модулю и направлению совпадает с главным вектором . Плечо пары сил определяется из условия

,

так как . Отрезок определяет кратчайшее расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей силы . Первый случай является частным случаем второго, когда за центр приведения взята точка, расположенная на линии действия равнодействующей силы.

П

Рис. 55

риведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силы пары сил , действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил (рис. 55). Используя векторный момент пары сил , можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которых сила параллельна векторному моменту пары сил (рис. 56). Сила и векторный момент пары сил могут быть направлены как в одну, так и в противоположные стороны.

Р

Рис. 56

ассмотрим теперь случай, в котором , , и векторы и не перпендикулярны. В этом случае оба инварианта не равны нулю, т. е.

, .

Покажем, что система сил в этом случае приводится к динаме, причем элементами динамы являются сила и момент пары , где – угол между векторами и . Действительно, после приведения системы сил к центру получим главный вектор и главный момент . Косинус угла между ними можно определить выражая скалярное произведение векторов и в двух формах:

;

.

Р

Рис. 57

азложим главный момент на две взаимно перпендикулярные составляющие и , одна из которых направлена по главному вектору (рис. 57). Имеем:

, . (68)

Векторный момент пары сил перпендикулярен главному вектору . Такая система силы и пары с моментом приведется к одной силе , линия действия которой находится от точки на расстоянии

. (69)

Рассматриваемая система сил заменилась эквивалентной системой сил, состоящей из силы и пары сил с векторным моментом , который как свободный вектор можно перенести из точки в любую точку, в том числе и точку на линии действия силы . Кратко результат можно выразить в форме:

~ ,

причем система сил является динамой. Сила и векторный момент пары есть элементы динамы:

, . (70)

Линия, по которой направлена сила динамы , называется центральной винтовой осью. Во всех точках винтовой оси, принятых за центры приведения, система сил приводится к одной и той же динаме. Расстояние от центра приведения до центральной винтовой оси

.

Е сли брать за центры приведения точки на поверхности цилиндра, осью которого является центральная винтовая ось, то главные моменты относительно таких центров будут одинаковы по модулю и составляют одинаковый угол с образующими цилиндра. Эти главные моменты состоят из одного и того же момента , входящего в состав динамы, и моментов , перпендикулярных и по числовой величине пропорциональных расстоянию центра приведения от центральной винтовой оси.

Совокупность сил, образующих динаму, можно заменить двумя скрещивающимися силами. Для этого следует одну из сил пары совместить с точкой приложения силы и сложить с этой силой (рис. 58).

Р

Рис. 58

ассмотрены все возможные случаи, кроме случая равновесия системы сил ( , ), рассмотренного ранее. Таким образом, убедились, что только при обращении в нуль главного вектора и главного момента система может находиться в равновесии, т.е. обращение в нуль главного вектора и главного момента не только необходимо для равновесия системы сил, но и достаточно.

Из рассмотрения частных случаев приведения систем сил следует, что при приведении системы сил к равнодействующей силе эта сила равна и параллельна главному вектору . Но линия действия равнодействующей может не проходить через центр приведения, в котором приложен главный вектор. Если главный вектор не равен нулю, то равнодействующей может и не быть, если система приводится к динаме.