VII. Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил

§ 1. Изменение главного момента при перемене центра приведения

П

Рис. 52

ри перемене центра приведения векторные моменты сил изменяются, так как изменяются радиусы-векторы их точек приложения. Вследствие этого изменяется главный момент. Оценим изменение главного момента системы сил . Пусть система сил приведена к центру О и получены в этой точке главный вектор и главный момент (рис. 52). Выберем в качестве центра приведения другую точку и вычислим главный момент рассматриваемой системы сил. Так как

~ , то для получения главного момента достаточно привести к новому центру систему . Силу из точки О перенесем в точку . Получим в этой точке силу и, согласно теореме о параллельном переносе силы, присоединенную пару сил с векторным моментом . Векторный момент пары сил , вычисленный относительно точки О как вектор свободный, можно приложить в любой точке тела. Новый главный момент относительно точки по правилу сложения пар сил является векторной суммой моментов и , т. е.

;

. (63)

По формуле для векторного момента силы имеем

.

С учетом этого формула (63) примет вид

. (64)

Итак, главный момент системы сил при перемене центра приведения изменяется на векторный момент главного вектора , приложенного в старом центре приведения, относительно нового центра приведения .

§ 2. Инварианты системы сил

Инвариантами в статике называются такие величины для рассматриваемой системы сил, которые не изменяются при изменении центра приведения. Одним из инвариантов является главный вектор, так как в любом центре приведения он выражается векторной суммой системы сил. Если в одном центре приведения главный вектор , а в другом , он , то

. (65)

Таким образом, главный вектор системы сил является векторным инвариантом. Для одной и той же системы сил он не зависит от выбора центра приведения.

Из векторного равенства (65) следует, что равны модули и проекции главных векторов на любые оси координат, т. е.

, , , . (65’)

Для получения второго, скалярного, инварианта используем формулу (64):

.

Умножая обе части этого равенства скалярно на , причем в правой части при умножении вместо , согласно (65), возьмем , получим

,

или

, (66)

так как смешанное произведение векторов, содержащих два одинаковых множителя , равно нулю, т. е.

.

Соотношение (66) является вторым скалярным инвариантом: скалярное произведение главного момента на главный вектор не зависит от центра приведения. Второй скалярный инвариант можно выразить в двух других эквивалентных формах, если раскрыть скалярное произведение векторов в (66). Обозначая проекции на оси координат через , , , а проекции – соответственно через , , , второй инвариант можно выразить в форме

. (66’)

К роме того, формуле (66) можно придать вид:

,

г

Рис. 53

де – угол между векторами и , а – между и (рис.53). После сокращения на получим

. (66”)

В этой форме второй инвариант утверждает, что проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от центра приведения.

Если главный момент в каждом центре приведения разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых направлена по главному вектору, то, учитывая, что главные векторы в различных центрах приведения параллельны, согласно (66”), получим

, (67)

где – составляющая главного момента по направлению главного вектора , а —составляющая главного момента по направлению главного вектора . Соотношение (67) является следствием первого и второго инвариантов.

Рассмотренные инварианты (65) и (66) являются независимыми, т.е. из одного не следует другой. Комбинируя эти инварианты, можно получить другие, зависящие от них инварианты.