IV. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия
§ 1. Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил
Приведение силы к заданному центру
С
Рис. 28
илу
можно переносить параллельно самой
себе в любую точку твердого тела, добавляя
при этом пару сил, векторный момент
которой равен векторному моменту
переносимой силы относительно новой
точки приложения силы.
Пусть имеем силу
,
приложенную к твердому телу в точке А
(рис. 28). Известно, что силу, приложенную
к твердому телу, можно переносить вдоль
ее линии действия, от чего действие силы
на твердое тело не изменяется. Теперь
докажем, что силу можно переносить на
другую, параллельную линию действия.
Но этот перенос следует компенсировать
добавлением соответствующей пары сил.
Приложим в точке тела В, выбранной за
центр приведения, систему двух равных
по модулю, но противоположных по
направлению сил
и
,
параллельных заданной силе
.
Силы
и
составляют систему сил, эквивалентную
нулю, и ее можно добавить к любой заданной
системе сил. Пусть по модулю
.
Тогда
~
~
.
Система двух равных
по модулю и противоположных по направлению
параллельных сил
составляет пару сил, которую называют
присоединенной
парой сил.
Итак, вместо силы , приложенной в точке А, получены сила , равная ей по модулю и направлению, но приложенная в точке В, и присоединенная пара сил , векторный момент которой
. (29)
Процесс замены силы силой и парой сил называют приведением силы к заданному центру В. По теореме об эквивалентности пар сил пару можно заменить любой другой парой сил с таким же векторным моментом.
П риведение произвольной системы сил к силе и паре сил
Докажем основную теорему статики (теорему Пуансо): любую произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру.
П
Рис. 29
~
.
Таким образом,
система из
сил заменена системой из
сил, т.е. в точке О приложена система
сходящихся сил
и на твердое тело действует также система
присоединенных пар сил
.
Векторные моменты присоединенных пар сил, согласно формуле (29), можно выразить через векторные моменты заданных сил:
(30)
Систему сходящихся
сил
заменим их равнодействующей
,
которая равна векторной сумме сил
и геометрически изображается замыкающим
вектором силового многоугольника,
построенного на этих силах (рис. 29).
Итак ~ , где
.
Для системы сходящихся сил сила является равнодействующей силой, а для заданной системы сил сила является лишь только ее векторной суммой, или главным вектором.
Главным вектором системы сил называют вектор, равный векторной сумме этих сил. Он изображается вектором, замыкающим силовой многоугольник, построенный на силах, т.е.
. (31)
Систему присоединенных
пар сил
по теореме о сложении пар сил можно
заменить одной парой сил
с векторным моментом
,
который называют главным моментом.
Главный момент
равен сумме векторных моментов
присоединенных пар. Учитывая формулу
(30), для
имеем:
.
(32)
Индекс О означает, что за центр приведения взята точка О.
Итак, главным моментом системы сил относительно точки О тела называют сумму векторных моментов всех сил системы относительно этой точки.
Главный момент системы сил является вектором, замыкающим векторный многоугольник, образованный при сложении векторных моментов сил системы относительно выбранного центра.
Таким образом, доказана основная теорема статики: любую систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к силе, равной главному вектору системы сил, и паре сил, векторный момент которой равен главному моменту системы сил относительно точки, выбранной за центр приведения.
В краткой форме эту теорему можно выразить так:
~
,
т
Рис. 30