Приведение плоской системы сил
Плоской системой сил, приложенных к твердому телу, называют такую систему сил, линии действия которых лежат в одной плоскости. Основная теорема статики справедлива для любой системы сил. Она справедлива и для плоской системы сил, действующих на твердое тело: любую плоскую систему сил можно в общем случае привести к силе и паре сил.
Для плоской системы сил главный вектор лежит в плоскости действия сил, если за центр приведения выбрать точку в плоскости действия сил. Все присоединенные пары сил тоже лежат в этой плоскости, а следовательно, векторные моменты этих пар перпендикулярны ей и взаимно параллельны. Главный момент , характеризующий векторный момент пары сил, эквивалентный присоединенным парам, перпендикулярен главному вектору. Он является векторной суммой параллельных векторов.
В этом случае главный момент равен сумме алгебраических моментов присоединенных пар и, следовательно, сумме алгебраических моментов сил относительно центра приведения.
Для плоской системы
сил вместо векторного главного момента
используют понятие алгебраического
главного момента. Алгебраическим главным
моментом
плоской системы сил относительно центра
приведения, лежащего в плоскости действия
сил, называют сумму алгебраических
моментов этих сил относительно центра
приведения.
Формулы для вычисления главного вектора и главного момента
Для любой системы сил главный вектор является векторной суммой этих сил:
, (31’)
а главный момент – суммой векторных моментов сил относительно центра приведения:
. (32’)
Главный вектор геометрически изображается замыкающей силового многоугольника, построенного на заданных силах. Проецируя обе части векторного равенства (31') на координатные оси, для произвольной пространственной системы сил получаем:
,
,
. (33)
По проекциям определяют модуль главного вектора и косинусы его углов с осями координат:
. (34)
Главный момент геометрически тоже изображается замыкающей векторного многоугольника, построенного на векторных моментах сил относительно центра приведения. Проецируя обе части векторного равенства (32') на прямоугольные оси координат и используя связь момента силы относительно оси с проекцией векторного момента этой силы относительно точки на оси, имеем
. (35)
Модуль главного момента и косинусы его углов с осями координат равны:
. (36)
Если выбрать ось Оz перпендикулярно плоскости действия плоской системы сил, а оси Ох и Оу – в плоскости сил, то главный вектор будет лежать в плоскости Оху и, следовательно, для плоской системы сил:
. (37)
Главный момент плоской системы сил перпендикулярен главному вектору и, следовательно, параллелен оси Оz. Тогда
,
(38)
где – алгебраический главный момент.
§ 2. Условия равновесия системы сил Условия равновесия системы сил в векторной форме
Из теоремы о приведении системы сил к силе и паре сил можно вывести условия равновесия системы сил, действующих на твердое тело. Очевидно, что если система сил находится в равновесии, то в равновесии находится и эквивалентная ей система, состоящая из силы и пары сил. Чтобы такая система сил была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно равенства нулю как силы , так и момента пары , равного главному моменту . Получаются следующие векторные условия равновесия произвольной системы сил: для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю. Иначе: для того чтобы ~0, необходимы и достаточны условия:
,
. (39)
Условия (39) являются векторными условиями равновесия для любой системы сил.