V. Плоская система сил. Теорема вариньона

§ 1. Частные случаи приведения плоской системы сил

Плоскую систему сил можно привести к более простой системе сил, состоящей из силы или пары сил. Эти случаи возможны, если система сил не находится в равновесии, т.е. если одновременно не равны нулю главные вектор и момент системы сил. Рассмотрим эти частные случаи.

Случай приведения к равнодействующей силе

1. Е сли при приведении плоской системы сил к какому-либо центру окажется, что главный вектор , а главный момент , то такая плоская система сил приводится к одной силе – равнодействующей системы сил. Равнодействующая сила в этом случае проходит через центр приведения, а по величине и направлению совпадает с главным вектором .

2. Е

   Рис. 34.

   сли при приведении плоской системы сил главный вектор и главный момент , то такую систему можно упростить и привести к одной равнодействующей силе . Эта сила по величине и направлению совпадает с главным вектором , но ее линия действия отстоит от первоначального центра приведения на расстоянии (рис. 34), которое определяют из соотношения

.

Действительно, пусть при приведении к точке О получаются главный вектор и пара сил, алгебраический момент которой равен главному моменту . По теореме об эквивалентности пар сил, расположенных в одной плоскости, пару сил можно поворачивать, передвигать в плоскости ее действия и изменять плечо и силы пары, сохраняя ее алгебраический момент. Выберем силы , , входящие в пару сил, равными по величине главному вектору. Тогда плечо пары сил определим по формуле

, . (45)

Повернем пару сил, чтобы ее силы были параллельны главному вектору , а точку приложения силы пары, противоположной по направлению главному вектору, совместим с центром приведения О. Тогда

~ .

Так как ~0, то такую систему сил можно отбросить.

Итак, систему сил, приведенную к силе с парой сил, в том случае, когда и , можно упростить и привести к одной силе – равнодействующей заданной системы сил, отстоящей от центра приведения на расстоянии .

Равнодействующую силу , приложенную к твердому телу, можно перенести в любую точку линии ее действия. Случай, когда , возможен, если за центр приведения О взять точку, лежащую на линии действия равнодействующей силы .

Случай приведения к паре сил

Если при приведении плоской системы сил к какому-либо центру окажется, что главный вектор , а главный момент , то такую плоскую систему сил можно привести к одной паре сил, алгебраический момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения, и в этом случае главный момент не зависит от выбора центра приведения.

Если главный вектор равен нулю при приведении к одному какому-либо центру, то он равен нулю и при приведении к любому другому центру, так как главный вектор, являясь векторной суммой сил системы, не зависит от выбора центра приведения. Главный момент не зависит от центра приведения только в том случае, когда . В других случаях главный момент системы зависит от выбора центра приведения. Если бы при главный момент зависел от центра приведения, то одна и та же плоская система сил была бы эквивалентна парам сил, имеющим разные алгебраические моменты, что невозможно, так как эквивалентные пары сил, лежащие в одной плоскости, имеют одинаковые алгебраические моменты.

Таким образом, рассмотрены случаи, которые возможны при приведении плоской системы сил к какому-либо центру. Если и , то система сил находится в равновесии; если , а , или , , то система сил приводится к одной равнодействующей силе; если , , то система приводится к одной паре сил.