7. Уравновешивание механизмов и машин

7.1. Общие сведения об уравновешивании

Механизм или машина считаются уравновешенными, если во время работы механизма результирующая всех сил, действующих на опоры стойки (станины, фундамента), и результирующий момент этих сил остаются постоянными по величине и направлению. В противном случае механизм считается неуравновешенным. Заметим, что влиять на указанную результирующую силу и результирующий момент могут только внешние (по отношению к рассматриваемому механизму) силы и моменты и массы звеньев, движущиеся с ускорениями. Внутренние силы (и моменты), приложенные к звеньям механизма, всегда существуют попарно (например, сила давления газов действует на поршень и на крышку цилиндра), и поэтому их суммарное действие на фундамент равно нулю. Чтобы выявить влияние масс звеньев, движущихся с ускорением, удобно и здесь применить принцип Даламбера, который позволяет считать все звенья механизма неподвижными, но требует, чтобы ко всем звеньям были приложены силы инерции. Таким образом, при решении различных вопросов, связанных с уравновешиванием механизмов и машин, необходимо учитывать все внешние силы (моменты) и силы инерции (моменты сил инерции).

Во многих случаях внешние силы и моменты вообще отсутствуют или настолько малы, что ими можно пренебречь. Пусть, например, двигатель внутреннего сгорания через зубчатую передачу приводит во вращение генератор переменного тока. Если двигатель, передача и генератор смонтированы на общем фундаменте, то для всей этой системы внешними силами могут считаться только силы веса отдельных звеньев и силы сопротивления воздуха, в котором движутся звенья. В других случаях внешние силы или моменты считаются практически постоянными и, значит, неуравновешенности не создают.

Примером может служить двигатель самолета, приводящий в движение воздушный винт, момент сопротивления которого можно считать постоянным.

Скорости машин непрерывно растут; в настоящее время довольно широко применяются электродвигатели с числом оборотов от 1 500 до 12 000, автомобильные двигатели 2 000 – 5 000 об/мин. При таких скоростях силы инерции достигают больших величин и во многих случаях значительно превосходят внешние силы. Поэтому именно в последнее время вопросы уравновешивания механизмов и машин стали весьма актуальными и главной задачей уравновешивания становится задача уравновешивания сил инерции. К этому нужно добавить, что при работе механизма силы инерции непрерывно изменяются по величине и направлению, из-за чего рамы, опоры и фундамент расшатываются, а при недостаточной жесткости начинают вибрировать. Последнее особенно опасно в тех случаях, когда частота вибраций, вызванная силами инерции, совпадает с частотой собственных колебаний станины, т.е. при наличии резонанса.

Переходим к рассмотрению простейшего случая. Пусть тело А вращается вокруг оси x с постоянным числом n об/мин. К каждой элементарной массе m можно считать приложенной силу инерции Р (рис. 7.1). Здесь и в дальнейшем силы инерции обозначены просто Р (а не Р_ин) и моменты этих сил – просто М (а не М _с.ин.). Эти силы называются центробежными силами инерции.

Величина центробежной силы инерции Р для массы m, удаленной от оси вращения на расстояние r, может быть подсчитана по формуле

, (7.1)

где Р – центробежная сила инерции, н; m – масса, кг; r – радиус вращения, м; n – число оборотов в минуту вала.

Рис. 7.1. Сила инерции Р массы m и ее моменты М_z и М_y относительно осей z и y

Знак вектора показывает, что сила инерции Р направлена так же, как и радиус r, от оси вращения х.

Рассмотрим два примера: в первом примере m = 0,1 кг, r = 1 м, n = 30 об/мин и во втором m = 0,1 кг, r = 0,5 м, n = 3 000 об/мин.

Формула (7.1) дает для первого примера Р ≈ 1 н, а для второго Р ≈ 4 930 н. Отсюда видно, что в быстроходных машинах и механизмах силы инерции могут достигать огромных величин.

Выберем плоскость координат z, y так, чтобы эта плоскость проходила через центр масс тела S. Сила инерции Р создает относительно осей z и y моменты М_z и М_y. Для определения этих моментов разложим силу инерции Р на две составляющие Р cos φ и Р sin φ, параллельные осям z и y.

Сила Р cos φ создает относительно оси z момент

М_z = Pl cos φ,

где l – координата массы m по оси х.

С учетом формулы (7.1) получим

.

Вектор этого момента направлен вверх по оси z.

Аналогично сила Р sin φ создаст относительно оси у момент

,

направленный влево по оси y.

С учетом формулы (7.1) получим

.

Складывая моменты М_z и М_y по правилу параллелограмма, получим полный момент силы инерции:

. (7.2)

Из отношения моментов

видно, что вектор момента М составляет с осью z угол φ. Отсюда следует, что вектор момента М всегда перпендикулярен вектору силы инерции Р и одновременно вектору радиуса r.

Вращающееся тело состоит из бесчисленного множества элементарных масс m_i, удаленных на расстояние r_i от оси вращения и на расстояние l_i от плоскости z, y, проходящей через центр масс тела S. Поэтому результирующая сила инерции всего тела будет

, (7.3)

а результирующий момент всех сил инерции тела относительно оси, лежащей в плоскости z, y и проходящей через точку О,

. (7.4)

Вектор называется статическим моментом и, как известно из механики, равен , где m – масса всего тела, r_S – расстояние центра масс тела S от оси вращения. С учетом сказанного формулу (7.3) можно также записать в виде

. (7.5)

Вектор можно по аналогии со скалярным центробежным моментом инерции называть центробежным моментом инерции относительно оси (х) и плоскости (y, z). Обозначив этот момент инерции через , получим из формулы (7.4)

. (7.6)

Результирующие векторы и уже не являются взаимно перпендикулярными и образуют один относительно другого некоторый угол α. При вращении векторы и вращаются вместе с телом, и поэтому между ними постоянно сохраняется один и тот же угол α.

При быстром вращении произвольного тела результирующая сила инерции Р и результирующий момент М могут достигать очень больших значений со всеми проистекающими отсюда вредными последствиями, о которых уже говорилось выше. Такие вращающиеся тела называются неуравновешенными.

Тело считается полностью уравновешенным, если результирующая сила инерции и результирующий момент сил инерции равны нулю. Из формул (7.5) и (7.6) видно, что условиями полной уравновешенности тела являются

; (7.7)

. (7.8)

Условие (7.7) будет удовлетворено только в том случае, когда r_S = 0, т.е. когда центр масс тела S лежит на оси вращения. Условие выполняется, как известно из механики, только относительно главных осей инерции тела. Значит, условие (7.8) будет выполнено только в том случае, когда ось вращения тела совпадает с одной из главных осей инерции тела. Условия (7.7) и (7.8) будут выполнены одновременно, если ось вращения тела совпадает с одной из главных центральных осей инерции тела, т.е. такой главной осью инерции, которая проходит через центр масс тела S.

Отметим, что если одновременно удовлетворяются равенства (7.7) и (7.8), то центробежный момент инерции равен нулю не только относительно оси вращения и плоскости, проходящей через центр масс S, но и относительно оси вращения и любой плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

Тело считается уравновешенным статически, если выполняется только условие (7.7). В этом случае центр масс тела S лежит на оси вращения и результирующая сила инерции Р равна нулю. Однако ось вращения тела не совпадает с одной из главных осей инерции, и поэтому не равен нулю и результирующий момент сил инерции М также не равен нулю.

Тело считается уравновешенным динамически, если выполняется только условие (7.8). В этом случае тело вращается вокруг одной из главных осей инерции и результирующий момент сил инерции равен нулю. Однако эта ось не является главной центральной осью инерции и поэтому не проходит через центр масс тела S и, значит, результирующая сила инерции Р динамически уравновешенного тела не равна нулю.

Мерой статистической неуравновешенности или статистического дисбаланса ∆_с вращающегося тела служит величина mr_S, кг·м. Так, если масса тела m пропорциональна его весу G, то часто статический дисбаланс выражают величиной ∆_с = Gr_S. Обычно статический дисбаланс невелик, и поэтому принимают

[сн·см]. (7.9)

где G – вес вращающегося тела в сантиньютонах, сн; r_S – смещение центра масс S от оси вращения, см.

Мерой динамической неуравновешенности или динамического дисбаланса ∆_д вращающегося тела служит величина , кгм² или пропорциональная ей величина , н·м². Практически обычно принимают

, сн·см². (7.10)

где l_i – расстояние массы m_i от плоскости, проходящей через центр масс тела S.

Полная неуравновешенность тела должна характеризоваться и статическим дисбалансом ∆_с, и динамическим дисбалансом ∆_д одновременно.

Если вращающееся тело само по себе неуравновешенно, т.е. не соблюдены условия (7.7) и (7.8), то его можно уравновесить при помощи специальных масс, прикрепляемых к телу. Эти массы называются противовесами и подбираются так, чтобы формулы (7.7) и (7.8) были удовлетворены.