5. Виброизоляция

5.1. Линейный виброизолятор

Вибрационные системы. Колебания в машинах могут быть полезными, когда само действие машины основано на эффекте колебаний (вибрационные транспортеры, сита, виброударные машины для забивки свай и т.п.), но чаще они являются нежелательными, так как снижают надежность машин и оказывают вредное влияние на организм человека.

Характеристики колебательных систем (амплитуды, частоты, силы) могут быть уменьшены или ограничены допускаемыми пределами путем оптимального выбора параметров соответствующей динамической модели. Например, динамические нагрузки в кулачковых механизмах могут быть уменьшены за счет правильного выбора профиля кулачка. В тех случаях, когда путем оптимального выбора параметров не удается снизить уровень колебаний, применяются дополнительные устройства для защиты от вредного действия колебаний – виброзащитные системы.

Различают два основных способа защиты от вибрации: виброгашение и виброизоляция. Виброгашение основано на присоединении к машине дополнительных колебательных систем, называемых виброгасителями, которые создают динамические воздействия, уменьшающие уровень колебаний в машине. Виброизоляция основана на разделении исходной системы на две части и соединении этих частей посредством виброизоляторов. Одна из частей является защищаемым объектом, а другая – источником возбуждения. Во многих случаях масса одной части существенно превышает массу другой части. Тогда движение тела «большой» массы может считаться не зависящим от движения тела «малой» массы. Тело «большой» массы называют основанием независимо от того, является ли оно защищаемым объектом или источником возбуждения.

Одноосный виброизолятор. В простейшем случае источник возбуждения и защищаемый объект считаются твердыми телами, движущимися вдоль одной и той же оси. На рис. 5.1, а показана расчетная схема при силовом возмущении, например, ДВС, КПП, установленных на раме ЗТМ. Агрегат с общей массой m является источником возбуждения, а рама – защищаемым объектом. Масса фундамента существенно больше массы агрегата, и потому она считается основанием. Виброизолятор, помещенный между агрегатом и рамой (основанием), имеет приведенный коэффициент жесткости с и приведенный коэффициент сопротивления b.

Рис. 5.1. Расчетные схемы виброизоляции при силовом возмущении (а) и кинематическом (б)

Приведенный коэффициент жесткости с определяется из условия равенства потенциальной энергии виброизолятора и эквивалентной пружины и в общем случае может быть нелинейной функцией перемещения y, отсчитываемого от положения равновесия, определяемого постоянной составляющей внешней силы F(t). Приведенный коэффициент сопротивления b определяется из условия равенства работ, затрачиваемых на трение в виброизоляторе и в эквивалентном демпфере, и в общем случае также может быть нелинейной функцией перемещения у и скорости у´.

Обобщенная (приведенная) реакция виброизолятора Q и внешняя сила F(t) направлены вдоль одной и той же оси, совпадающей с направлением перемещения у, и потому виброизолятор называется одноосным.

Уравнение движения источника возбуждения, рассматриваемого как твердое тело, при указанных предположениях имеет вид

. (5.1)

Назначение виброизолятора в этом случае состоит в уменьшении динамической (переменной) составляющей реакции Q, передаваемой на основание при заданном воздействии перемещенной силы F(t).

На рис. 5.1, б показан другой случай, при котором защищаемый объект, например кабина ЗТМ представлен как твердое тело с массой m, а источником возбуждения является основание (рама), совершающее колебания по закону s(t). Задача виброизоляции здесь состоит в уменьшении динамической составляющей , передаваемой на защищаемый объект.

Уравнение движения защищаемого объекта (кабины) как твердого тела при колебаниях основания имеет вид

или . (5.2)

Виброзащитные системы, показанные на рис. 5.1, различают по виду возбуждения колебаний. В первом случае (рис. 5.1, а) колебания вызываются переменной силой F(t) и возбуждение колебаний называется силовым. Во втором случае (рис. 5.1, б) колебания вызываются перемещением основания по заданному закону движения и возбуждение колебаний называется кинематическим. Уравнение движения (5.2) при кинематическом возбуждении совпадает с уравнением (5.1) при силовом возбуждении, если принять .

Колебания одноосного виброизолятора при силовом возбуждении. Уравнение движения (5.1) приводится к линейному, если принять, что приведенная реакция виброизолятора складывается из приведенной силы упругости, линейно зависящей от перемещения, и приведенной силы трения, линейно зависящей от скорости:

. (5.3)

Вводя обозначения λ² = c/m и 2γ = b/m, приводим уравнение (5.1) к виду

. (5.4)

Пусть, например, внешняя сила изменяется по гармоническому закону . Тогда уравнение (5.4) имеет вид

. (5.5)

Решение этого уравнения для установившихся вынужденных колебаний, т.е. после затухания собственных колебаний, получаем в виде

, (5.6)

где θ – сдвиг фаз силы и перемещения, определяемый выражением

. (5.7)

Дифференцирование выражения (5.6) дает

.

Подставляя у и в (5.3), получаем силу, передаваемую виброизолятором на основание:

или

, (5.8)

где К_дин – коэффициент динамичности по перемещениям, равный отношению амплитуды вынужденных колебаний по (5.6) к максимальному перемещению H/с, вызываемому статическим действием силы

.

Для определения максимального значения силы преобразуем выражение (5.8), используя известное тригонометрическое соотношение

, (5.9)

где ε = arctg(b/a).

При а = 1 и b = 2γω/λ² имеем

,

где ε = arctg(2γω/λ²).

Следовательно, максимальное значение силы равно

.

Отношение наибольшей силы, передаваемой основанию при силовом возбуждении, к амплитуде гармонической вынуждающей силы называется коэффициентом передачи силы К_с, который совпадает с коэффициентом динамичности по силам.

В нашем примере

или , (5.10)

где v = ω/λ - частотное отношение, β = γ/λ – относительное демпфирование.

Коэффициент передачи сил характеризует качество виброзащитной системы. При жестком соединении источника возбуждения (машины) и основания (рамы) К_с = 1; при К_с < 1 виброзащитная система эффективна, так как амплитуда силы, действующей на основание, уменьшается; при К_с > 1 применение виброизолятора нецелесообразно. Коэффициент передачи сил совпадает с коэффициентом динамичности по силам для механизмов с упругой муфтой. Для того чтобы максимальная величина силы , передаваемая на основание, была меньше амплитуды вынуждающей силы, должно быть выполнено условие

> _.

Обычно принимают ω/λ ≥ 4. Если сила представлена суммой гармонических составляющих

,

то под ω надо понимать наименьшую из частот силы ω_k. Отсюда следует, что для улучшения виброзащитных свойств линейного виброизолятора надо уменьшать собственную частоту λ, а следовательно, и коэффициент жесткости с. Подставляя в соотношение (ω/λ) ≥ 4 величину λ² = с/m, получаем условие для определения коэффициента жесткости

.

Увеличение демпфирования при (ω/λ) > ухудшает виброзащитные свойства виброизолятора. Поэтому считается достаточным слабое демпфирование, обеспечивающее затухание собственных колебаний.

Для оценки эффективности виброизоляции, кроме коэффициента передачи сил, используют также коэффициент эффективности вибрационной защиты¹, под которым понимается отношение пикового или среднего квадратического значения величины, характеризующей колебания (перемещения, скорости, ускорения защищаемого объекта или воздействующей на него силы) до введения виброзащиты, к значению той же величины после введения виброзащиты. В рассматриваемом случае, т.е. при силовом возбуждении гармонических колебаний, коэффициент эффективности, определяемый по величине силы, передаваемой на основание, равен отношению амплитуды вынуждающей силы к амплитуде силы, действующей на основание:

. (5.11)

Колебания одноосного виброизолятора при кинематическом возбуждении. Рассмотрим теперь случай, когда колеблется основание по закону

. (5.12)

Если приведенную реакцию виброизолятора определять по (5.3), то уравнение движения (5.2) принимает вид

,

где у – перемещение защищаемого объекта относительно основания.

С учетом соотношения (5.12) получаем

, (5.13)

где 2γ = b/m и λ² = c/m.

Уравнение движения (5.13) совпадает с уравнением (5.5) при условии, что H = mA_sω². Используя решение (5.6) и принимая во внимание, что абсолютное перемещение защищаемого объекта z есть сумма перемещения основания s и относительного перемещения у, получаем

.

При слабом демпфировании и λ < ω имеем

.

Отсюда следует, что амплитуда колебаний защищаемого объекта относительно неподвижной системы координат может быть сколь угодно малой в случае, если его частота собственных колебаний на виброизоляторе мала по сравнению с частотой колебаний основания.

Коэффициентом передачи при кинематическом возбуждении называют отношение максимального ускорения защищаемого объекта к максимальному ускорению основания, т.е. при кинематическом возбуждении коэффициент передачи совпадает с коэффициентом динамичности по ускорениям

. (5.14)

Для определения предварительно преобразуем выражение z к виду, содержащему только тригонометрические функции аргумента ωt – θ:

. (5.15)

Тригонометрические функции sin θ и cos θ в соответствии с выражением для tg θ (5.7) имеют вид:

,

.

Подставляя эти выражения в (5.15), получаем

или с учетом (5.9)

,

где , .

Следовательно, коэффициент передачи при кинематическом возбуждении

(5.16)

совпадает с коэффициентом передачи при силовом возбуждении. Из (5.16) следует также, что коэффициент передачи при кинематическом возбуждении можно определять так же, как отношение амплитуды перемещения защищаемого объекта к амплитуде основания.

Различают абсолютный коэффициент передачи, определяемый по (5.16), и относительный коэффициент передачи, определяемый как отношение амплитуды перемещения защищаемого объекта в движении относительно основания к амплитуде основания:

. (5.17)

Коэффициент эффективности определяется по абсолютному коэффициенту передачи:

. (5.18)

Двухкаскадная виброизоляция. При высокочастотных колебаниях, т.е. при ω ≥ λ или, что то же , при v >> 1, коэффициент передачи силы по формуле (5.10) принимает значение

.

При отсутствии демпфирования (β = 0) коэффициент передачи силы К_с = 1/v², т.е. виброизоляция на высоких частотах является достаточно эффективной. Однако эффективность виброизоляции на этих частотах может быть еще повышена, если применить двухкаскадную виброизоляцию, схема которой показана на рис. 5.2.

Уравнения движения системы при силовом гармоническом возбуждении имеют вид

Установившиеся вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы описывается решением

, .

Рис. 5.2. Расчетная схема двухкаскадной виброизоляции

Подставляя это решение в систему уравнений движения, получаем после сокращения на множитель sin ωt:

Отсюда

; ,

где ∆ - определитель, составленный из коэффициентов при А₁ и А₂ в системе уравнений движения:

.

Сила, передаваемая на основание, , а ее максимальное значение Q_max = c₂Hc₁/∆. Следовательно, коэффициент передачи силы

или

При больших значениях ω имеем

,

т.е. коэффициент передачи силы при двухкаскадной виброизоляции равен произведению коэффициентов передачи силы для каждого каскада. Отсюда следует, что для повышения эффективности виброизоляции надо удовлетворить условие с₂/m₂ < ω². В частном случае при с₁/m₁ = с₂/m₂ получаем К_с2 = К_с1², где К_с2 – коэффициент передачи силы при двухкаскадной виброизоляции, К_с1 – при однокаскадной.

Учет демпфирования при больших значениях ω не изменяет существенно выводов об эффективности двухкаскадной виброизоляции.