2.10. Экспериментальное определение собственной частоты

Инерционным возбуждением часто пользуются для экспериментального определения собственных частот. На рис. 2.15, а схематически показан применяемый для этого вибратор: неуравновешенный груз вращается со скоростью от привода с изменяемым числом оборотов. Вектор возбуждающей силы (mrω²) меняется при этом пропорционально квадрату числа оборотов. Вибратор укрепляют на конструкции, собственную частоту которой требуется определить; в опыте записывают числа оборотов n и амплитуду колебаний. Когда колебания достигают максимума (в резонансе), то число собственных колебаний в минуту n_с = n_рез и . Вращающийся вектор можно разложить на гармонические силы и (рис. 2.15, б). Если конструкция имеет только одну степень свободы, то слагающая (или ) возбудит гармонические колебания. Например, движение груза А происходит между плоскостями В и В₁ (рис. 2.15, в). Тогда одна только слагающая будет возбуждать колебания массы m. Вибратор, показанный на рис. 2.15, а, называют ненаправленным. Вибратор, состоящий из двух связанных зубчатой передачей неуравновешенных грузов, вращающихся в противоположные стороны с одинаковой скоростью, если фазовые углы грузов относительно линий, параллельных линии АА, равны, создает только одну гармоническую силу в направлении АА (рис. 2.16). Компоненты центробежных сил в перпендикулярном АА направлении взаимно уравновешиваются. Такой направленный вибратор удобен, когда нужно определить собственную частоту конструкции при колебаниях в одном направлении, если система имеет несколько степеней свободы.

А

Рис. 2.15. Ненаправленный вибратор

В том случае, когда фазы грузов направленного вибратора относительно АА отличаются на 180º (рис. 2.17), вибратор создает гармонический момент. Таким вибратором можно возбуждать крутильные колебания конструкции для определения собственной частоты вращательных (угловых) колебаний.

Рис. 2.16. Направленный вибратор Рис. 2.17. Моментный вибратор

Резонансная кривая при инерционном возбуждении отличается от кривой, показанной на рис. 2.10. Из уравнения (2.24) можно найти х₀ при инерционном возбуждении, если вместо амплитуды силы Р подставить . Если бы не было восстанавливающей силы, то случай, показанный на рис. 2.15, в, совпал бы со случаем, показанным на рис. 2.14. Тогда перемещение а массы m определялось бы из условия ma = m_врR.

В системе с пружиной

, (2.33)

где , а перемещение а определяют из соотношения неуравновешенной массы вибратора и массы возбуждаемой системы. Резонансная кривая системы рис. 2.15, в при инерционном возбуждении показана на рис. 2.18. При ω = 0 нет центробежной силы и х₀ = 0. После резонанса, когда ω >> ω_с, х₀ = 0 стремится к а, это получается из уравнения (2.33), если разделить числитель и знаменатель на и положить .

Рис. 2.18. Резонансная кривая при инерционном возбуждении

2.11. Сложное (полигармоническое) возбуждение

В закрепленной на фундаменте одноцилиндровой установке (см. рис. 2.14) с уравновешенным с помощью противовеса коленчатым валом будут действовать силы инерции первого и второго порядка Р₁ и Р₂. Если сложить, как показано на рис. 2.19, обе силы на протяжении одного оборота вала, то получим периодическую кривую сложного возбуждения. Чтобы найти вынужденные колебания установки, нужно вычислить по уравнению (2.27) отдельно амплитуды косинусоид колебаний от Р₁ и Р₂ и сложить их подобно тому, как это сделано на рис. 2.19 для возбуждающих сил инерции. Однако относительные масштабы косинусоид колебаний будут уже другими; они зависят от отношений частот и и значений х_ст. Если ω_с = 120, а двигатель работает при 955 об/мин, т.е. на нормальном режиме ω₁ = 100, то для колебаний от Р₁ коэффициент усиления , а для колебаний от Р₂ . Но х_ст от Р₂ при будет в 4 раза меньше, чем х_ст от Р₁.

В результате отношение амплитуд колебаний первого и второго порядков будет не 3,26:0,56, а 3,26:0,14, т.е. колебания второго порядка составляют только 4 % от колебаний первого порядка и движение установки будет мало отличаться от простого гармонического с частотой ω. Но если, например, ω_с = 180, то легко вычислить, что отношение колебаний первого и второго порядков будет 1,45:1,06, т.е., хотя возбуждающая сила второго порядка Р₂ в четыре раза меньше, чем Р₁, но вызываемое ею отклонение меньше только в 1,36 раза.

Рис. 2.19. Сложение сил инерции 1-го и 2-го порядков

Очень часто приходится находить амплитуды колебаний, создаваемых сложным полигармоническим возбуждением, которое можно графически изобразить периодической кривой, но не заданное аналитически уравнением, аналогичным уравнению (2.31). В этом случае производят так называемый гармонический анализ, т.е. заменяют кривую периодической силы несколькими синусоидами различной частоты, сумма ординат которых дает в каждый момент периода ординату заданной кривой. Рассчитав вынужденные колебания от каждой точки синусоиды (их называют гармониками), складывают затем гармоники отклонений.