5.3. Виброизоляция при случайном воздействии

Определение вероятностных характеристик перемещений в одноосном виброизоляторе. Перемещения у в одноосном виброизоляторе связаны с изменением силы (t), являющейся случайной функцией времени, вероятностные характеристики которой будем считать известными. Требуется определить вероятностные характеристики перемещений, т.е. обобщенной координаты у, из дифференциального уравнения

. (5.26)

Пусть, например, из опытных данных установлено, что математическое ожидание функции (t) (средневероятностное значение) может быть представлено функцией

(t) = H sin ωt. (5.27)

Из тех же опытных данных получено, что спектральная плотность дисперсии S_F равна постоянной величине S₀ в диапазоне 0 ≤ ω ≤ ω₀ и равна нулю при ω > ω₀. Соответственно дисперсия случайного воздействия равна постоянной величине S₀ω₀ в диапазоне 0 ≤ ω ≤ ω₀ и равна нулю при ω > ω₀. Частота ω₀ иногда называется частотой среза.

Переходя к центрированной случайной функции F⁰(t) т.е. к функции, значение которой отсчитывается от ее средневероятностного значения (математического ожидания), получаем, что вероятностные характеристики силы (t) описываются стационарным случайным процессом с математическим ожиданием m_uF = 0 и дисперсией , равной S₀ω₀ в диапазоне 0 ≤ ω ≤ ω₀ и равной нулю при ω > ω₀ (ограниченный белый шум).

Математическое ожидание центрированной случайной функции, выражающей обобщенную координату у, на основании свойств стационарного процесса , т.е. средневероятностное обобщенной координаты у (математическое ожидание нецентрированной случайной функции), определяется решением уравнения (5.26) при (t) = H sin ωt.

Согласно (5.6) имеем

. (5.28)

Для определения дисперсии этой случайной функции предварительно найдем ее спектральную плотность S_y:

при ,

при .

Для уравнения (5.26) частотная передаточная функция W(iω) найдется из соотношения

,

при a = m: или .

Модуль частотной передаточной функции

.

В рассматриваемом примере это выражение может быть получено также как отношение амплитуд обобщенной координаты у и силы F(t), следовательно, спектральная плотность перемещений

при ,

при .

Дисперсия перемещений, т.е. изменений обобщенной координаты у, находится по формуле

или .

Принимая во внимание, что λ² = с/m, и вводя обозначение m = ω/λ, получаем

. (5.29)

На рис. 5.4 показан график изменения дисперсии в зависимости от отношения частоты среза к собственной частоте v₀ = ω₀/λ. График построен на основании табличного вычисления интеграла (5.29). Из этого графика следует, что в отличие от дисперсии силы S₀ω₀, которая стремится к бесконечности при ω → , дисперсия перемещений стремится к конечной величине

, (5.30)

где b – коэффициент сопротивления в уравнении (5.26).

Рис. 5.4. График изменения дисперсии от отношения ω₀/λ

Максимальная дисперсия перемещений, а следовательно, и среднеквадратическое отклонение от значения обобщенной координаты (5.28), оказывается тем меньше, чем больше жесткость пружины с и коэффициент сопротивления b.

Определение вероятностных характеристик обобщенной скорости. Частотная передаточная функция для обобщенной скорости W_v(iω) есть отношение производной по времени комплексной амплитуды гармонической вынуждающей силы. В рассматриваемом примере модуль частотной передаточной функции для обобщенной скорости может быть определен как отношение амплитуды обобщенной скорости к амплитуде обобщенной силы H. После дифференцирования по времени выражения (5.28) получаем, что амплитуда обобщенной скорости

.

Следовательно, модуль частотной функции для обобщенной скорости

.

Спектральная плотность дисперсии обобщенной скорости

или .

Дисперсия обобщенной скорости

После вычисления этого интеграла можно установить, что при ω₀→ дисперсия обобщенной скорости остается ограниченной и стремится к величине

. (5.31)

Максимальная дисперсия обобщенной скорости в отличие от максимальной дисперсии перемещений зависит от массы объекта m.

Определение вероятностных характеристик силы воздействия на основание. Согласно (5.3) сила, передаваемая на основание, или, что то же, приведенная реакция виброизолятора имеет вид

.

В рассматриваемом примере модуль частотной передаточной функции для силы может быть определен как отношение амплитуды силы к амплитуде обобщенной силы Н. Это отношение совпадает с коэффициентом передачи сил при силовом возбуждении. Согласно (5.10) имеем

.

Следовательно, спектральная плотность дисперсии силы в диапазоне 0 ≤ ω ≤ ω₀

или

.

Отсюда дисперсия силы Q, передаваемой на основание,

.

При ω₀→ после подстановок (5.30) и (5.31) имеем

. (5.32)

Из (5.32) видно, что дисперсия силы , передаваемой на основание, зависит от коэффициента демпфирования γ. При γ → 0 и при γ → дисперсия силы возрастает неограниченно. Минимальное значение дисперсия силы имеет при γ = λ/2. В этом случае

. (5.33)

Следовательно, при случайном возбуждении типа белого шума (это возбуждение иногда называют широкополосным) для уменьшения дисперсии силы, передаваемой на основание, надо выполнить соотношение γ = λ/2 или b = λm. Кроме того, согласно (5.33) дисперсия уменьшается со снижением собственной частоты λ. Отсюда следует, что эффективность виброизоляции повышается с уменьшением собственной частоты (уменьшение коэффициента жесткости с) и с увеличением коэффициента демпфирования до значения γ = λ/2.

Контрольные вопросы

1. Объяснить, в чем принципиальная разница при силовом и кинематическом возбуждении механической системы.

2. Как определяется коэффициент передачи силы при силовом возбуждении системы?

3. Как получить условие для определения коэффициента жесткости упругого элемента системы?

4. Как определяются коэффициенты передачи и эффективности при кинематическом возбуждении системы?

5. Как определить коэффициент передачи при двухкаскадной виброизоляции?

6. Как определить коэффициент динамичности при ударном воздействии на систему?

7. Как определить дисперсию перемещений при случайном воздействии на систему?

8. Как определить вероятностные характеристики обобщенной скорости и силы, передающейся на основание при случайном воздействии на систему?