2.12. Круговые колебания. Критическая частота вращения вала

Рассмотрим колебание, слагающееся из двух взаимно перпендикулярных движений, сдвинутых по времени одно относительно другого на четверть периода.

Возбуждающие силы P sin ωt и P cos ωt равны по амплитуде и имеют одинаковую частоту. Они действуют на круглый вал с закрепленными концами (рис. 2.20, а). Чтобы построить кривые изменения этих сил во времени в горизонтальном и вертикальном направлении, достаточно одного вектора (рис. 2.20, б), проектируемого на оси 1-1 и 2-2. Заметим, что, если бы речь шла только о сдвиге во времени, т.е. если бы обе силы были направлены по линии 1-1, понадобилось бы два вектора под прямым углом, чтобы их проекции изобразили P sin ωt и P cos ωt, как показано на рис. 2.20, в, и их можно было бы заменить одной синусоидой. Благодаря тому, что эти силы возбуждают колебания по разным направлениям, в пространстве (под прямым углом друг к другу) возникает сложное движение: прогибы в направлении 1-1 и 2-2 складываются в прогиб, направленный вдоль P (рис. 2.20, б), и плоскость, в которой лежит упругая линия неподвижно закрепленного вала, вращается с угловой скоростью ω. Упругая линия описывает тело вращения; при этом все волокна вала испытывают переменные напряжения с частотой ω. Такое колебание вала называют круговым колебанием. На рис. 2.20, г показаны два положения упругой линии: верхнее волокно вала испытывает растяжение, когда упругая линия проходит точку а, и сжатие, когда линия проходит точку b, что соответствует половине цикла колебаний (mn на синусоиде рис. 2.20, б) и полуобороту упругой линии. Для каждого из слагающих колебаний справедливо все, что говорилось о вынужденных колебаниях системы на рис. 1.1, в. Следовательно, когда ω = ω_с, где ω_с – собственная частота изгибных колебаний вала в направлениях 1-1 и 2-2 (с формой, показанной на рис. 2.20, г), наступает резонанс. Так как вал круглый, то его жесткость с одинакова во всех направлениях, и ω_с одна и та же и при возбуждении горизонтальной силой P sin ωt, и при возбуждении вертикальной силой P cos ωt. Коэффициент усиления в резонансе К´ одинаков, и прогиб возрастает до х_стК´, но форма колебаний будет та же, что и раньше (рис. 2.20, г). Однако в резонансе должен наступить сдвиг по времени на четверть периода между возбуждающей силой P sin ωt и горизонтальным отклонением, а также возбуждающей силой P cos ωt и вертикальным отклонением.

Рис. 2.20. Круговые колебания

Сложение сил P sin ωt и P cos ωt дает постоянную силу Р, вращающуюся с угловой скоростью ω (рис. 2.20, б). Теперь речь идет не об условном векторе, движение проекций конца которого изображает изменение силы (или пути) по гармоническому закону, а о сумме сил P sin ωt и P cos ωt, складываемых по правилу параллелограмма. Такую вращающуюся силу дает, например, ненаправленный вибратор. В самом деле, инерционное возбуждение, создаваемое им, рассматривалось как сумма двух гармонических возбуждений. При описании ненаправленного вибратора (см. рис. 2.16) мы говорили о разложении силы Р на P sin ωt и P cos ωt, здесь же речь идет о сложении двух таких возбуждающих сил во вращающуюся силу Р.

Рассмотренное здесь возбуждение можно, следовательно, создать ненаправленным вибратором, как показано на рис. 2.21, а, где сидящий на подшипнике, посредине закрепленного вала диск с неуравновешенной массой m приводится во вращение через передачу от электродвигателя. Вынужденные колебания будут такими, как на рис. 2.20, г.

Рис. 2.21. Схема создания круговых колебаний закрепленного и свободного валов

Если концы вала освободить (поместить в подшипники) и вращать вал одновременно с вращением вибратора, то можно придать валу какую-нибудь угловую скорость ω₁, причем ω₁ может быть направлена и в сторону вращения упругой линии, и в обратную (рис. 2.21, г). Картина колебаний (форма упругой линии, частота колебаний, момент наступления резонанса) не изменится при изменении направления вращения вала или его остановке. Но характер изменения напряжения в волокнах вала зависит от величины и направления ω₁. На рис. 2.21, б (где ω₁ = ω) все время одно и то же волокно вала будет максимально растянуто, а диаметрально противоположенное – сжато. Если ω₁ = - ω (рис. 2.21, в) и вал вращается в направлении, противоположном направлению вращения угловой линии, то все волокна будут испытывать переменный изгиб.

В самом деле, если в какой-либо момент волокно А лежало на направлении вектора P, т.е. было растянуто, то через четверть оборота вектора Р, когда вал сделает тоже четверть оборота в противоположенную сторону, оно окажется в диаметрально противоположенным Р положении А₁ и будет сжато, а ещё через четверть оборота снова будет растянуто. Полный цикл напряжений для А заключается в пол-оборота, и частота изгиба для любого волокна равна 2ω.

Круговое вращение упругой линии вала называют процессией. Когда вращение вала происходит в сторону прецессии, ее называют прямой; когда вал и упругая линия вращаются в противоположенные стороны, прецессию называю обратной.

Предположим теперь, что горизонтальная и вертикальная силы, вызывающие прогиб вала и прецессию упругой линии, не равны между собой и выражаются в виде P₁ cos ωt и P₂ sin ωt, где P₁ > P₂. Тогда, очевидно, описываемая точка на упругой линии фигура в плоскости чертежа будет не кругом, а эллипсом с полуосями, пропорциональными P₁ и P₂. Можно представить себе (рис. 2.21, д), что этот эллипс есть результат сложения двух круговых движений, но векторы 1 и 2 вращаются в противоположенные стороны. В показанный на рис. 2.21, д момент векторы эти складываются (штриховая линия) и прогиб равен большой полуоси эллипса, а через четверть оборота векторы 1 и 2 займут вертикальное положение и прогиб, равный их разности, станет равен малой полуоси. Если сам вал вращается в сторону вектора 2, то этот вектор соответствует прямой прецессии, а вектор 1 – обратной. Ясно, что эллиптическая фигура прогибов означает их изменение за оборот и появление переменных напряжений вала, т.е. наличие обратной прецессии. Частота изменения напряжений равна при этом 2ω.

Если для эллиптического движения вектор 1 должен быть взят больше вектора 2, то движение центра вала по эллипсу будет происходить в направлении, обратном вращению вала, и в целом прецессия (уже не круговая, а эллиптическая) будет обратной. Если, наоборот, вектор 2 больше вектора 1, прецессия в целом будет прямой.

Перейдем теперь к рассмотрению действительного обычного случая, когда ненаправленным вибратором, возбуждающим круговые колебания, служит сам вал с установленным на нем диском, цент тяжести которого смещен с оси вала (на величину е), совпадающей при начале вращения с осью, проходящей через центры подшипников. С точки зрения формы круговых колебаний (вращение упругой линии вала), числа оборотов упругой линии и наступления резонанса изгибных колебаний этот случай (рис. 2.21, г) ничем не отличается от случая на рис. 2.21, а (форма колебаний на рис. 2.20, г) и к нему полностью относится все, что говорилось о вынужденных колебаниях при инерционном возбуждении. Возбуждающая сила P = meω². Следовательно, амплитуда колебаний (максимальный прогиб в системе без трения) будет выражаться аналогично уравнению (2.33):

, (2.34)

где е – начальное смещение центра тяжести диска (по отношению к оси вала), заменяет а (см. рис. 2.18). Резонанс наступит, когда частота возбуждения ω равна частоте изгибных колебаний вала , где с – изгибная жесткость вала, а m – масса диска (если не учитывать влияние массы самого вала). Так как ω – частота возбуждения равна угловой скорости вращения вала, то резонанс наступает, когда частота вращения вала равна собственному числу его изгибных колебаний.

Эта частота вращения вала называется критической.

Рис. 2.22. Положение точки крепления диска и его центра тяжести относительно линии центра подшипников

Под действием возбуждающей силы P = meω², направленной от S к G (G –центр тяжести диска), центр вала S смещается с оси О (рис. 2.22, а), проходящей через центры подшипников, на величину ρ = х₀ по уравнению (2.34). Мы можем рассматривать это смещение как результат сложения смещений по оси ОА (х_А) и по оси ОВ (х_В) под действием соответственно P cos ωt и P sin ωt (рис. 2.22, б).

Тогда так же, как сила

.

До резонанса возбуждающая сила P = meω² направлена в сторону отклонения, т.е. от центра O к G и точка G лежит от О дальше, чем S. После резонанса сила опережает отклонение на 180º и направлена к центру О (рис. 2.22, в) и точка G лежит ближе к О, чем S. Это не значит, что так направлена вся центробежная сила, равная m(ρ + e)ω² до резонанса и m(ρ - e)ω² после резонанса. Как и в случае на рис 2.11, возбуждающая сила только одна из трех сил, в сумме находящихся в равновесии. Сила упругости cx₀, уравновешивающая при колебаниях силу инерции m(ρ ± e)ω², в резонансе в несколько раз больше возбуждающей силы, как при обычных (не круговых) колебаниях.

В резонансе, в системе с трением, очевидно, х_В отстает на четверть периода от P sin ωt, а х_А – на четверть периода от P cos ωt, и в результате их сумма х₀ отстает на четверть периода от суммарной силы Р (рис. 2.22, г) и вектор P = meω² должен составлять угол в 90º с направлением прогиба OS, так как четверть периода для Р означает четверть оборота точки G вокруг S. Может показаться, что при отсутствии переменного изгиба (т.е. при круговой прямой прецессии), и отсутствии внутреннего трения нет и сопротивлений в круговом колебании. Однако всегда имеется трение в подшипниках и о воздух; и, как бы мало оно ни было в резонансе (иначе говоря, на критических оборотах), вектор meω² будет уравновешиваться сопротивлениями, если только вал не сломается при проходе через критическую частоту вращения. После прохода через критическую частоту вращения отклонение x₀ = OS будет стремиться к e, т.е. точка G на высоких оборотах придет на линию О, и слегка изогнутый вал (со стрелкой прогиба е) будет вращаться вокруг оси, проходящей через центр тяжести G (см. рис. 2.22, а и в; G и S поменяются местами).

Картину поворота вектора силы Р на 90º по отношению к плоскости, содержащей упругую линию, можно наблюдать экспериментально. Для круговых колебаний, в отличие от обычных, сдвигу во времени соответствует действительный наблюдаемый угол, так как вращающиеся векторы Р и х₀, применявшиеся условно для построения диаграммы, здесь реальны.

Эксперимент. Легкий диск из пластмассы (рис. 2.23) укреплен на стальном вертикальном валике.

Рис. 2.23. Экспериментальная установка для наблюдения сдвига фаз

между центробежной силой и плоскостью прогиба

Неуравновешенность диска создается сверлением А на радиусе е, что равносильно грузу m в диаметрально противоположной точке, через которую на диске проведена стрелка, изображающая центробежную силу Р. Вокруг диска с зазором l помещена неподвижная круговая шкала с делениями. Диск приводится во вращение электродвигателем М, число оборотов которого можно изменять очень плавно. Диск и шкала освещаются вспышками стробоскопа, управляемыми контактным приспособлением на оси диска. При резонансе, вследствие сильного прогиба, край диска подходит к шкале и можно видеть, что стрелка Р образует прямой угол с тем из нескольких тонких лучей, который направлен к точке сближения диска со шкалой. Если стробоскоп снабжен устройством скольжения (малая разность числа оборотов диска и числа вспышек), ходит через цифру 90. Эту картину сдвига вектора GS относительно OS наблюдают при уравновешивании векторов.

Рассмотрим пример: записи колебаний двумя вибраторами, установленными на одном из подшипников вала с диском, дали два n_кр: первое, записанное горизонтальным вибрографом, и второе, записанное вертикальным вибрографом. Следовательно, у вала два резонанса. Это объясняется различной жесткостью опор в вертикальном и горизонтальном направлениях. Необходимо определять жесткость подшипников в вертикальном и горизонтальном направлениях.

Жесткость подшипников в горизонтальном направлении по сравнению с жесткостью вала с, если n_кр2 практически совпадает с расчетом , а n_кр1=0,9n_кр2. Жесткости вала и двух подшипников включены последовательно, как показано на схеме рис. 2.24, в: когда сила Р прогнет вал на х₁, то давление на опоры сместит центр диска ещё на х₂ и прогиб х = х₁+х₂.

Рис. 2.24. Резонансы вала при неодинаковых жесткостях опор

в горизонтальном и вертикальном направлениях

Величину (обратную жесткости) называют податливостью. Разделив в выражении х = х₁+х₂ все члены на Р, видим, что податливости вала и опор складываются:

или ;

так как

,

то

и с_опор = 4,25с_вала. Жесткость одной опоры равна 2,12 с. Прецессионное движение центра диска здесь не круговое, а эллиптическое (рис. 2.24, г).