2. Бесконечно большие функции.

Определение 2. Функция называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке (или при ), если для любого существует такое, что для всех , , удовлетворяю­щих неравенству , выполняется неравенство |f (х)|  A.

В этом случае пишут и говорят, что функция стремится к бесконечности при , или что она имеет бесконечный предел в точке .

Если же выполняется неравенство f(х)  A ( f(х)  A ), то пишут и говорят, что функция имеет в точке х₀ бесконечный предел, равный +  ( ).

По аналогии с конечными односторонними пределами определя­ются и бесконечные односторонние пределы:

Аналогично определяются бесконечно большие функции при х   x  .

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует такая же связь, как и между соответствующими последовательностями, т. е. функция обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот.

2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются бесконечно малыми функциями. Этого, вообще говоря, нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может привести к различным результатам. Так, например, если , , то

Если же , , то

Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций. Пусть при функции и являются бесконечно малыми. Тогда:

1) если , то  бесконечно малая более высокого порядка, чем (говорят также, что имеет более высокий порядок малости, чем , при ; при сравнении бесконечно малых функций часто используют символ о («о малое»), если функция – бесконечно малая в точке более высокого порядка, чем бесконечно малая в этой же точке , то это условно записывается так: ;

2) если (А  число), то и  бесконечно малые одного порядка;

3) если , то и  эквивалентные бесконечно малые. Эквивалентность обозначается так: .

В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бес­конечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило:

4) если , то  бесконечно малая п-го порядка относительно .

Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно малых функций при  x  +, x  , а также при справа и слева.

Р а с с м о т р и м п р и м е р ы.

1. Функции и х являются при эквивалентными бесконечно малыми, так как .

2. Функции и являются при бесконечно ма­лыми одного порядка, так как

3. Функция является при бесконечно малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой х, так как

Если функции и  бесконечно малые в точке , то функция имеет более высокий порядок малости, чем каждый из сомножителей. Если и при и существует , то существует и , причем

Пример. Найти

Решение. Так как , при , то

Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения. Рассмотрим несколько примеров.

1. Функции и являются при эквивалентными бесконечно большими, так как

В этом случае говорят также, что и имеют одинаковый порядок роста при .

2. Функция является при бесконечно большой более низкого порядка, чем (имеет менее высокий порядок роста), так как

3. Бесконечно большие при функции , имеют одинаковый порядок роста, так

4. Функция является при беско­нечно большой второго порядка по отношению к бесконечно боль­шой , так как