2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.

Как и в случае функции одной независимой переменной, введению функции n переменных должно предшествовать перечисление и описание важнейших типов множеств точек n – мерного евклидова пространства .

1. Открытый n – мерный шар. Множество {M} всевозможных точек M пространства , координаты которых удовлетворяют неравенству

называется открытым шаром радиуса с центром в точке . Если использовать обозначение (5.1), то последнее соотношение можно записать в виде . Таким образом, открытый шар – это множество всех точек, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки – центра шара, меньше заданного положительного числа .

2. Замкнутый n – мерный шар. Множество {M} всевозможных точек пространства , координаты которых удовлетворяют неравенству

или

называется замкнутым n – мерным шаром радиуса R с центром в .

3. n – мерная сфера. Множество {M} всевозможных точек пространства , координаты которых удовлетворяют равенству

или

называется n – мерной сферой радиуса с центром в точке .

4. Открытый n – мерный шар радиуса с центром в точке называется - окрестностью точки .

5. Открытый n – мерный координатный параллелепипед. Множество {M} всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

где называется открытым n – мерным координатным параллелепипедом с центром в точке или прямоугольной окрестностью точки .

Аналогично вводится понятие замкнутого n – мерного координатного параллелепипеда.

Очевидно следующее утверждение: любая - окрестность точки содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки; любая прямоугольная окрестность точки содержит некоторую - окрестность точки (рис. 34, 35).

R

R

Рис. 34 Рис. 35

6. Внутренние точки множества. Точка М множества {M} точек пространства называется внутренней точкой этого множества, если существует некоторая - окрестность точки M, все точки которой принадлежат множеству {M}.

7. Внешние точки множества. Точка М пространства называется внешней точкой множества {M}, если существует некоторая - окрестность точки M, все точки которой не принадлежат множеству {M}.

8. Граничные точки множества. Точка М пространства называется граничной точкой множества {M}, если эта точка не является ни внутренней, ни внешней точкой указанного множества.

9. Открытое множество. Произвольное множество {M} точек пространства называется открытым, если любая точка этого множества является его внутренней точкой.

10. Окрестность точки М – это произвольное открытое множество, содержащее данную точку.

11. Замкнутое множество. Произвольное множество {M} точек пространство называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

12. Предельная точка множества. Точка множества называется предельной точкой множества {M}, если в любой - окрестности точки содержится хотя бы одна точка этого множества, отличная от .

13. Ограниченное множество. Множество {M} точек пространства называется ограниченным, если найдется n – мерный шар, содержащий все точки этого множества.

14. Связное множество. Множество {M} точек пространства называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

15. Область в - это всякое открытое и связное множество в пространстве .

16. Замкнутая область – это множество в пространстве , полученное присоединением к области {M} всех ее граничных точек.