- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
1. Понятие производной п-го порядка. Как уже отмечалось, производная функции сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.
Назовем производной первого порядка функции . Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т.д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются
или
Производная n-го порядка является производной от производной (n – 1)-го порядка, т.е.
Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Ограничимся физическим истолкованием второй производной . Если функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то первая производная есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а вторая производная равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент.
2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
1) Вычислим п-ю производную степенной функции ( ) ( любое действительное число). Последовательно дифференцируя, имеем:
В частном случае, если , где m натуральное число, получаем
2) Вычислим п-ю производную показательной функции (0 < a 1). Последовательно дифференцируя, имеем
В частности, если , то для любого n
3) Вычислим п-ю производную функции . Последовательно дифференцируя, имеем
Таким образом, производную любого порядка от можно вычислять по формуле
Например,
4) Аналогично можно получить формулу п-й производной функции :
3. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций. Пусть , где и и v – некоторые функции от переменной х, имеющие производные любого порядка. Тогда
(3.6)
Формула (3.6) называется формулой Лейбница.
Пример 1. Вычислить пятую производную функции
Решение. Полагая и , найдем , , , , ; . Подставляя эти выражения в формулу (3.6) при , получаем
Пример 2. Вычислить п-ю производную ( ) функции .
Решение. Полагая и , найдем
Подставляя в формулу (3.6), получаем
4. Дифференциалы высших порядков.
Определение. Вторым дифференциалом от функции в точке х называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке и обозначается так: .
Аналогично можно определить дифференциал любого порядка. Отметим, что второй дифференциал и все последующие дифференциалы, в отличие от первого, не обладают инвариантностью формы.
3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
1. Параметрическое задание функции. Пусть даны две функции
, (3.7)
одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Если строго монотонна, то обратная к ней функция однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной х посредством переменной t, называемой параметром: .
В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью уравнений (3.7).
Отметим, что функция непрерывна в силу теоремы о непрерывности сложной функции.
Пример 1. Пусть , (0 t ). Так как функция убывает при , то данные уравнения задают параметрически функцию у от х. Если выразить t через х из первого уравнения и подставить во второе, то получим искомую функцию переменной х в явном виде.
Это еще легче сделать, если заметить, что
.
Отсюда у = или у = Так как функция неотрицательна для 0 t , то перед радикалом выбираем знак плюс: . Если t 2, то
Таким образом, можно сделать вывод, что когда t изменяется от 0 до 2, то формулы , определяют две функции переменной х, графики которых образуют окружность радиуса R.
Пример 2. Пусть , (0 t 2).
Данные равенства являются параметрическими уравнениями эллипса, так как эллипс получается из окружности радиуса а сжатием ее в а/b раз вдоль оси Оу. Из примера 1 следует, что параметрическими уравнениями окружности являются уравнения , ( ). Итак, параметрические уравнения эллипса получаются из параметрических уравнений окружности умножением правой части уравнения для ординаты у на b/а и имеют вид: , ( . Можно поступить проще. Исключая из этих уравнений параметр t (разрешая их относительно и , возводя полученные равенства в квадрат и складывая), получаем
или уравнение эллипса. Параметрическое задание функции имеет особо важное значение при изучении движения точки. Если точка движется на плоскости, то ее координаты х, у являются функциями времени t. Задав эти функции , , мы полностью определим движение точки. Для каждого промежутка времени, в котором функция (t) строго монотонна, можно, как и раньше, определить функцию , графиком которой является кривая, описываемая за этот промежуток времени движущейся точкой. В последнем примере функции описывали движение точки по эллипсу.
2. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Предположим теперь, что функции и имеют производные, причем на некотором промежутке. Тогда производная функции, заданной параметрически, выражается формулой
(3.8)
Пример 1. Найти , если , ( ).
Решение. Т. к. в нашем случае , то по формуле (3.8) получаем
Пусть существуют вторые производные функций и в некоторой точке t. Тогда можно вычислить вторую производную функции, заданной параметрически. Заметим, что функция , в свою очередь, задана параметрически уравнениями и . Следовательно,
(3.9)
Аналогично можно получить производную от у по x любого порядка.
Пример 2. Найти , если , ( ).
Решение. , t; , , поэтому по формуле (3.9) найдем