5.2. Понятие функции многих переменных

1. Механическая модель функциональной зависимости.

Слово “функция” происходит от латинского – functio, означающего отправление, деятельность; “фунгор” – означает “я выполняю”. В математике это слово обозначает предписание к выполнению действий, оговоренных операций. В помощь нашему воображению мы можем привлечь наглядные геометрические изображения – графики функций, но только для функций одной или двух переменных. Можно также воспользоваться наглядной моделью – функциональным (операторным) ящиком, придуманным ирландским математиком и крупнейшим специалистом по механике и теории относительности Дж. Л. Сингом (1897 - 1995).

Представим себе ящик (рис. 36), внутри которого заключен механизм, конструкция которого для нас совершенно несущественна. Это устройство связывает длины выступающих из ящика стержней х и у с длиной выступающей части стержня .

Д лины выступающих стержней будем считать значениями соответству-ющих переменных х, у, .

На изменение длин стержней х и у – входных, или независимых перемен-ных, ящик автоматически реагирует – изменяет длину стержня – выходной (зависимой) переменной.

При желании операторный ящик можно воображать как радиотехнический прибор, преобразующий входные сигналы в выходные. Такая описательная модель допускает очевидное обобщение: если имеется несколько величин , ..., , значение каждой из которых определяется значениями переменных , ..., , то имеем модель зависимости двух векторных величин и , принадлежащих пространствам разной размерности и возможно даже разной природы (рис. 37).

₁

u₂

Рис. 37 Функциональный ящик

для зависимости векторных величин

2. Функция и область ее задания.

После этих замечаний, апеллирующих к наглядности, мы можем ввести фундаментальное математическое понятие функции n переменных.

Определение. Если каждой точке М из множества {М} точек n-мерного пространства ставится в соответствие по известному закону некоторое число , то говорят, что на множестве {М} задана функция или . При этом множество {М} называется областью задания функции .

Число , соответствующее данной точке М из множества {М} называется частным значением функции в точке М. Совокупность {u} всех частных значений функции называется множеством значений этой функции.

Для функции используется также обозначение , где , ..., – координаты точки М, или обозначение .

Таким образом, функция двух переменных ставит в соответствие каждой упорядоченной паре чисел (х,у), т. е. точке , принадлежащей некоторому подмножеству точек плоскости, одно число (х,у) ; функция трех переменных – упорядоченной тройке чисел (x, y, z) также сопоставляет вещественное число (х,у,z) .

Как и прежде, для функции одной переменной, примем соглашение: в случае, когда функция определена некоторой формулой, и если только не оговорено противное, мы принимаем за область задания этой функции (область определения) наибольшее множество наборов чисел , на которых формула имеет смысл.

Рассмотрим примеры функций, заданных формулами.

Пример 1. , где а – действительное число. Областью определения этой функции является множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству: , или , т. е. замкнутый двумерный шар – круг радиуса а с центром в начале координат. Множество значений функции – сегмент .

Пример 2. . Область задания этой функции является множество точек плоскости, лежащих вне круга радиуса а с центром в начале координат: . Множество значений представляет собой открытую полупрямую (рис. 38).

y

x

a

Рис. 38. Область определения функции

в примере 2 – внешность круга

Пример 3. . Область задания функции – множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству . Граница этой области (не входит в область определения!) – парабола, уравнение которой .

Таким образом, границей области задания функции является парабола, ось которой совпадает с осью , а вершина находится в точке (2,0) (рис. 39). Для одного и того же значения х точки и , принадлежащие области определения, имеют большие по абсолютной величине ординаты, чем точки, лежащие на границе области. Для точек и ординаты удовлетворяют неравенству , а для точек параболы - .

Следовательно, в область определения войдут те, и только те точки, которые лежат левее параболы. Это пример незамкнутой односвязной неограниченной области.

y

x

0

x

2

Рис. 39

Область определения функции в примере 3

Пример 4. . Область задания функции определяется неравенством , которые равносильны неравенствами . Граничными линиями области определения являются окружности , , которые принадлежат области определения. Таким образом, область задания функции – кольцо (рис. 40). Это пример замкнутой ограниченной неодносвязной области. Область является двухсвязной, так как степень связности равна числу замкнутых кривых, ограничивающих область.

y

-2 0 2 x

Рис. 40

Область определения функции в примере 4

Пример 5. . Область задания функции - множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству

.

Это неравенство эквивалентно неравенствам

, ,

при . Таким образом, область определения этой функции состоит из круга радиуса с центром в точке и кольцеобразных областей (рис. 41). Областью значений функции является замкнутый отрезок .