Задачи к п. 1

Написать первые пять членов последовательностей:

1. 1) 2) 3)

Какие из последовательностей являются ограниченными:

2. 1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

3. Известно, что Найти номер N, начиная с которого выполняется неравенство где

4. Доказать, что: 1) 2) 3) 4)

Установить, какие из заданных последовательностей являются бесконечно большими:

5. 1) 2) 3)

4)

6. Доказать, что последовательности являются бесконечно малыми:

1) 2) при . 3)

7. Доказать, что последовательность является бесконечно большой при и бесконечно малой при

Вычислить пределы:

8. 9. 10.

11. 12.

13.

14. Доказать монотонность последовательностей:

1) 2) 3) 4) 5)

15. Доказать, что последовательность сходится, и найти ее предел.

Ответы к п. 1

2. 1), 3), 5), 6). 3. 10, 100, 1000. 5. 1), 4). 8. 5/9. 9. 1/2. 10. 0. 11. . 12. 0. 13. 1/5.

(29)

2. Функции одной переменной

В средней школе начато изучение важнейшего понятия математического анализа – понятие функции. В этом разделе будет введено понятие предела функции, а также понятие непрерывности функции.

2.1. Классификация функций

Основными элементарными функциями называют следующие функции.

1) Показательная функция , , . На рис. 1 пока­заны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.

Рис. 1

2) Степенная функция , . Примеры графиков сте­пенных функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рис. 2.

Рис. 2

3) Логарифмическая функция , , ; Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 3.

Рис. 3

4) Тригонометрические функции , , , ; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис. 4.

Рис. 4

5) Обратные тригонометрические функции , , , . На рис. 5 показаны графики обратных тригонометрических функций.

Рис. 5

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного чи­сла арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, де­ления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Примерами элементарных функций могут слу­жить функции

; ; .

Примерами неэлементарных функций могут служить функции

.

Имеет место следующая классификация элементарных функций.

1) Функция вида

, где – целое число, а₀, а₁, ..., а_m – любые числа, называемые коэф­фициентами (а₀ ≠ 0), называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степени т. Многочлен первой степени называется также линейной функцией.

2) Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций , называется дробно-рациональной функцией. Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует класс рациональных функций.

3) Функция, полученная с помощью конечного числа супер­позиций и четырех арифметических действий над степенными функ­циями как с целыми, так и с дробными показателями и не являю­щаяся рациональной, называется иррациональной функцией. Например,

и т. д. – иррациональные функции.

4) Всякая функция, не являющаяся рациональной или ирра­циональной, называется трансцендентной функцией. Это, напри­мер, функции , и т.д.