3. Бесконечно малые функции.
Функция
называется бесконечно малой при
(или
в точке
),
если
.
Используя определение предела функции в форме Коши (определение 2), можно придать определению бесконечно малой функции более содержательную форму.
Определение.
(в форме
Коши). Функция
называется бесконечно малой, если,
каково бы ни было малое положительное
число
,
существует соответствующее ему число
такое, что для любой точки М
из области определения функции,
удовлетворяющей условию
,
абсолютная
величина значений функции
будет меньше
:
.
Следующая теорема устанавливает связь между предельным значением функции и бесконечно малой в окрестности предельной точки.
Теорема 3.
Если функция
представляется в виде
,
где
– постоянная,
– бесконечно малая функция при
,
то
.
Обратно, если , то , где – бесконечно малая функция при .
Доказательство. Прямое утверждение.
Пусть функция
может быть представлена в виде
,
где
– постоянная,
-
бесконечно малая при
.
Отсюда имеем:
,
т.е.
.
При
,
так как
– бесконечно малая функция,
– любое сколь угодно малое число. Поэтому
существует такая
– окрестность точки
,
что для всех точек М
из этой окрестности
.
Поэтому
.
Обратное утверждение. Пусть . Это значит, что при всяком существует – окрестность точки , для всех точек М из которой . Обозначим . Тогда . Но последнее и означает, что – бесконечно малая функция при . Таким образом: .
Бесконечно
большая функция.
Будем писать
,
если функция
определена в некоторой окрестности
точки
,
за исключением, быть может, самой точки
,
и для всякого
найдется
такое, что
,
как только
,
для всех точек М,
принадлежащих
-
окрестности точки
.
4. Повторные
пределы*.
Для функции
нескольких переменных можно определить
понятие предела по одной из переменных
при фиксированных значениях остальных
переменных. В связи с этим возникает
понятие повторного предела.
Рассмотрим для простоты функцию двух переменных.
Пусть функция
задана в некоторой прямоугольной
окрестности точки
,
,
за исключением, быть может, самой точки
.
Пусть для каждого фиксированного
,
удовлетворяющего условию
,
существует
предел функции
одной переменной
в точке
:
.
Пусть, кроме того,
существует предел b
функции
в точке
.
В этом случае говорят, что существует повторный предел b для функции в точке , который обозначается следующим образом:
.
______________________________________________________
*) Этот раздел предназначен для самостоятельного изучения.
Другой повторный
предел получится, если вначале устремить
,
т.е. при фиксированном x,
удовлетворяющим условию
,
получить предел
,
а затем при
получить
повторный предел
.
Замечание. Не следует думать, что числа b и B обязательно совпадают, они могут и отличаться друг от друга.
Пример 6.
Вычислить повторные пределы при
,
от функции
.
Решение.
1) Вычислим повторный предел
.
Имеем:
;
.
2) Вычислим повторный
предел
.
;
.
Таким образом,
для данной функции повторные пределы
не совпадают:
.
Пример 7. Вычислить повторные пределы функции
в точке (см. пример 1).
Решение. 1) Вычислим повторный предел . Имеем:
;
.
2) Вычислим повторный предел . Получим
;
.
Таким образом, для данной функции повторные пределы оказались равными. Однако, в примере 1 показано, что предел этой функции в точке не существует. На основании этого результата можно сделать вывод: из существования и равенства повторных пределов функции в данной точке не следует существования предела функции в этой точке.
Из результата решения примера 6 следует, что, вообще говоря, нельзя допускать перестановку предельных переходов в повторных пределах.
Следующая теорема устанавливает достаточные условия равенства двух введенных повторных пределов.
Теорема 4.
Пусть функция
определена в некоторой прямоугольной
окрестности
,
точки
и имеет в этой точке предел, равный b.
Пусть, кроме
того, для любого фиксированного х,
удовлетворяющего
условию
,
существует предел
и для любого фиксированного
,
,
существует
предел
.
Тогда повторные
пределы
и
существуют и оба равны
.
Доказательство.
Так как функция
имеет в точке
предел, равный b,
то для любого
можно указать такое
,
что при
и
выполняется неравенство
.
То есть в прямоугольной окрестности
,
точки
значения
функции
отличаются от числа b
не более чем на
.
Но тогда пределы функций
и
,
указанные в условии теоремы при х
и у,
удовлетворяющих неравенствам
и
,
так же отличаются от числа b
не более чем на
.
Следовательно,
пределы этих функций в точках
и
соответственно
существуют и равны этому числу b.
Теорема доказана.