Задачи к п. 3
Найти производные следующих функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Используя предварительное логарифмирование, найти производные следующих функций:
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Для функций,
заданных параметрически, найти
29.
30.
31.
.
32.
Найти производные второго порядка следующих функций:
33.
34.
35.
36.
Найти производные второго порядка следующих функций заданных параметрически:
37.
38.
Написать уравнение
касательной и нормали к графику функций
в данной точке, если:
39.
40.
41.
42.
43.
В какой точке
кривой
касательная перпендикулярна к прямой
44.
Составить уравнение нормали к параболе
в точке пересечения с биссектрисой
первого координатного угла.
45.
Закон движения материальной точки по
прямой имеет вид
а) В какие моменты времени точка находится в начале координат?
б) В какие моменты времени направление ее движения совпадает с положительным направлением оси Ох?
в) В какие моменты времени ее ускорение равно нулю?
46.
Тело массой 4 движется прямолинейно по
закону
Определить кинетическую энергию тела
в момент времени t
= 5.
47. Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой скоростью изменяются объем и площадь поверхности шара?
48.
Доказать, что для линейной функции
приращение
и дифференциал dy
совпадают.
49.
Найти приращение
и дифференциал dy
функции
соответствующие значению аргумента
и двум различным значениям аргумента
50.
Найти приращение
и дифференциал dS
площади S
квадрата, соответствующие приращению
стороны x.
С помощью рисунка геометрически
истолковать
и разность
.
Найти дифференциал
указанных функций при произвольных
значениях аргумента х
и при
произвольном его приращении
51.
52.
53.
54.
55.
Вычислить приближенно: а)
б)
в)
56.
Обосновать приближенную формулу
и вычислить по этой формуле
57.
Найти приближенное значение функции
при
.
Ответы к п. 3
39. 7x
+ y
3 = 0, x
7y
+ 71 = 0. 40.
y
5 = 0, x
+ 2 = 0. 41.
x
4y
+ 4 = 0, 4x
+
y
18
= 0. 42.
y
2x
= 0, x
+
2y
= 0. 43.
44.
.
45. а)
б)
в)
46. 242.
47.
49.
50.
55. а)
0.05;
б) 0.805;
в) 0.2.
56. 2.93.
57. 1.2.
4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема
1 (теорема
Ферма).
Пусть функция
определена на интервале
и в некоторой
точке
этого интервала имеет наибольшее или
наименьшее значение.
Тогда, если в точке
существует производная, то она равна
нулю, т.
е.
Геометрический
смысл теоремы Ферма состоит в том, что
если в точке
дифференцируемая
функция
имеет
наибольшее или наименьшее значение, то
в точке
касательная к графику функции
параллельна оси Ox
(рис. 13).
Рис. 13 Рис. 14
З
а м е ч а н и е. Теорема неверна, если
функцию
рассматривать на отрезке
.
Так функция
на отрезке
[0,1] в точке
принимает наименьшее, а в точке
– наибольшее значение, однако как в
той, так и в другой точке производная
в нуль не обращается, а равна единице
(рис. 14).
Теорема
2 (теорема
Ролля).
Пусть на
определена
функция
,
причем:
1)
непрерывна на
;
2)
дифференцируема на
;
3)
.
Тогда существует точка
,
в которой
.
Г
еометрически
теорема Ролля означает, что у графика
непрерывной на отрезке
и дифференцируемой внутри этого отрезка
функции, принимающей на его концах
равные значения, существует точка
,
в которой
касательная параллельна оси Ох
(рис. 15). На рис. 15 в точке с
функция
принимает наибольшее значение.
Рис. 15
Следует отметить, что все три условия теоремы Ролля существенны. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести примеры функций, для которых выполнялись бы два условия теоремы, а третье не выполнялось и производные которых не
Рис. 3
,
и равная 0, если
(рис. 16), удовлетворяет условиям 2
и 3,
но не удовлетворяет условию 1.
Функция
,
x[1,1]
(рис. 17) удовлетворяет условиям 1
и 3,
но не удовлетворяет условию 2.
Для этих функций также не существует
точки, в которой их производная обращалась
бы в нуль.
Рис.
16
Рис. 17
Отметим, что в математике существенность тех или иных условий доказываемых теорем проверяется построением соответствующих примеров, когда невыполнение того или иного условия теоремы приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.
Теорема
3 (теорема
Лагранжа).
Пусть на
определена
функция
,
причем:
1)
непрерывна на
;
2)
дифференцируема на
.
Тогда
существует точка
такая, что справедлива формула
Установим
геометрический смысл теоремы Лагранжа
(рис.18). Величина
является угловым коэффициентом секущей,
проходящей через точки
и
графика функции
а
угловой коэффициент касательной к
графику в точке
Из теоремы Лагранжа следует, что
существует точка с
такая, что
касательная к графику в точке
параллельна секущей
Таких точек может быть и несколько, но,
по крайней мере, одна всегда существует.
З а м е ч а н и е 1. Равенство
Рис. 74
называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
З
а м е ч а н и е 2. Так как точка
с лежит
между a
и b,
то
,
где
.
Учитывая это, формулу Лагранжа можно
записать в виде
З
а м е ч а н и е 3. Если положить
то получим
Такая запись формулы Лагранжа часто
бывает удобнее, чем запись в виде (4.1).
Как будет показано в дальнейшем, теорема Лагранжа лежит в основе доказательства многих формул и теорем анализа.
Теорема
4 (теорема
Коши).
Пусть функции
и
непрерывны на
и дифференцируемы
на
.
Пусть,
кроме того,
.
Тогда
существует точка
такая, что справедлива формула
.
(4.2)
З а м е ч а н и е. Формула (4.2) называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных приращений.