2. Механический смысл и геометрическое истолкование.

Рассмотрим механический смысл частной производной.

В ряде разделов механики, физики и технических дисциплин читатель встречался с функциями нескольких переменных, одной из которых являлась временная переменная t. Например, изучая движение материальной системы, имеющей n степеней свободы, в теоретической механике в качестве характеристических функций, описывающих динамику системы, рассматриваются функции Лагранжа или Гамильтона , где - обобщенные координаты, - обобщенные скорости, - обобщенные импульсы, и V – кинетическая и потенциальная энергия системы. В этом случае, как известно из теоретической механики, уравнение движения механической системы содержит частную производную по времени

.

Другой пример знаком нам из теплотехники. Пусть в начальный момент времени задано распределение температуры тела и задан тепловой режим на его границах. Тогда при температура тела в точке будет являться функцией времени . Вид координатной и временной зависимости температуры тела определяется типом теплового режима на границах и дифференциальным уравнением теплопроводности, содержащим частную производную по времени

.

Таким образом, уравнения, описывающие механическое движение системы и распределение температуры в теле, содержат величины, характеризующие их изменение во времени. Каждая из величин в правых частях уравнений является пределом при соответствующих отношений

или

Каждое выражение представляет собой изменение соответствующей функции, отнесенное к промежутку времени, в течение которого эти изменения произошли. То есть среднюю скорость изменения величины за время . В пределе, при , мы получаем мгновенную скорость изменения функции Лагранжа или температуры. В этом заключается механический смысл частной производной некоторой функции по времени.

По аналогии с этим, частные производные функции по переменной также трактуются как скорость изменения функции в точке М в направлении оси .

Перейдем к выяснению геометрического смысла частных производных функции двух переменных . Как мы знаем из п.4.2, графиком такой функции является некоторая поверхность в трехмерном пространстве. Фиксируя аргумент , мы получим плоскую кривую , представляющую собой сечение поверхности плоскостью, параллельной координатной плоскости . Пусть - касательная к кривой в точке , , - угол, образованный этой касательной с положительным направлением оси .

Поскольку по определению частной производной

,

то на основании геометрического смысла производной функции одной переменной, заключаем (рис. 50)

.

z

y

B

x

l_x

A

Рис. 50

Аналогично, если есть сечение поверхности плоскостью , - угол, образованный с осью касательной к кривой в точке _, то

.

3. Дополнительный материал.

В отличие от функций одной переменной, из существования частных производных в некоторой точке, вообще говоря, не вытекает непрерывность функции многих переменных в этой точке. Рассмотрим, например, функцию

Мы убедились (см.п.5.4), что эта функция не является непрерывной в точке . Однако эта функция всюду (включая точку ) имеет частные производные. Действительно, имеем в точке :

В остальных точках плоскости существование производных очевидно.

Но если частные производные существуют и ограничены, то функция будет непрерывной. Это свойство выражается следующим утверждением.

Теорема. Если функция имеет частные производные по х и по у всюду в области D и эти производные всюду удовлетворяют неравенствам

, ,

где М - постоянная, то функция непрерывна в области D.

Замечание.Данное выше понятие частных производных - формулы (5.11) и (5.12), пригодно для внутренних точек области. Но для граничных точек этой области, вообще говоря, непригодно. Это связано с тем, что в граничных точках области задания функции (рис.51) не всегда можно вычислить частные приращения функции. В связи с этим принято определять частные производные функций в граничных точках области определения как пределы производных при стремлении точек к границе.

y

x

Рис. 51