5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных

1. Производные сложных функций.

Пусть – функция двух переменных х и у, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t: , . Тогда функция является сложной функцией независимой переменной t, а переменные х и у – промежуточные переменные. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если функции и дифференцируемы в точке t, а функция дифференцируема в точке , то сложная функция также дифференцируема в точке t. При этом производная этой сложной функ­ции вычисляется по формуле

(5.16)

З а м е ч а н и е. Обратите внимание на то, когда в обозначе­ниях производных пишется «д» и когда «d».

Примеры.

1. Пусть , . По формуле (5.16) имеем

.

2. Пусть , , . По формуле (5.16) имеем

3. Пусть По формуле (5.16) получаем

Учитывая, что , находим . С другой стороны, можно найти , выразив предвари­тельно z через t. Имеем , откуда , что, безусловно, совпадает с результатом, полученным по формуле (5.16).

Если , где , то – сложная функция х. На основании формулы (5.16), в которой роль t играет теперь х, получим

а так как , то

Аналогично решается вопрос о производной сложной функции, когда число промежуточных переменных больше двух. Например, если , где , , , то формула (5.16) принимает вид

(5.17)

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть – функция двух переменных х и у, которые, в свою очередь, зависят от двух или большего числа независимых переменных. Например, пусть , . Тогда функция является сложной функцией независимых переменных и и v, а переменные х и у – промежуточные.

Если функции и дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в точке , где , , то сложная функция дифференцируема в точке , причем ее частные производные в этой точке находятся по формулам

(5.18)

Примеры.

1. Пусть , По формулам (5.18) имеем

2. Пусть , . По формулам (5.18) получаем

Подставьте самостоятельно в эти формулы выражения , и, с другой стороны, найдите и , предварительно выразив z через и и v, а затем сравните полученные результаты.

3. Пусть . По формулам (5.18) имеем

Если , где , то – сложная функция, зависящая через переменную х от двух переменных и и v, и ее частные производные также находятся по формулам (5.18):

Обратите внимание на обозначения производных в этих формулах.

Формулы (5.18) можно обобщить на случай большего числа проме­жуточных переменных. Например, если – функция трех переменных х, у, z, а каждая из них зависит от и и v, то формулы (5.18) принимают вид

2. Производная по направлению. Градиент.

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой ок­рестности точки , и произвольный единичный вектор (рис. 52).

Для характеристики скорости изменения функции в точке в направлении вектора введем понятие производной по направлению. Для этого проведем через точку М прямую L так, чтобы одно из направлений на ней совпадало с направлением векто­ра , и возьмем на направленной прямой точку . Обозначим величину отрезка через , т.е. , если точка расположена так, как на рис. 52, и , если точка расположена по другую сторону от точки М. Функция получит при этом приращение

Рис. 52

Определение 1. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е.

Переходя к пределу в этом равенстве при , получаем фор­мулу для производной по направлению

(5.19)

Из формулы (5.19) следует, что производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причем направляю­щие косинусы являются как бы весовыми множителями, показы­вающими вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

В частности, при и ; при и . Отсюда следует, что частные производные по х и у являются частными случаями производной по направлению.

Пример. Вычислить производную функции в точ­ке по направлению вектора , где  точка с коор­динатами (3,0).

Решение. Найдем единичный вектор , имеющий данное направление:

откуда . Вычислим частные произ­водные функции в точке : , откуда , По формуле (5.19) получим

Определение 2. Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и , взятым в точке .

Обозначение:

Используя понятие градиента функции и учитывая, что вектор имеет координаты , представим формулу (5.19) в виде ска­лярного произведения векторов grad z и :

(5.20)

С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем

, (5.21)

где  длина вектора ;  угол между векторами и . Сравнивая формулы (5.20) и (5.21) и учитывая, что , получаем

Из последнего равенства следует, что производная функции по на­правлению имеет наибольшую величину при , т.е. когда направление вектора совпадает с направлением . При этом . Таким образом, градиент функции в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.

Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных , выводится формула

вводится понятие градиента и исследуются его свойства.

3. Частные производные высших порядков. Пусть частные произ­водные и функции , определенной в окрест­ности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у, определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка.

В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций и в точке М, если они существуют, назы­ваются частными производными второго порядка от функции в этой точке и обозначаются следующими символами:

Частные производные второго порядка вида , называются смешанными частными производными.

Примеры.

1. . Имеем Следовательно,

2. . Имеем,

Следовательно,

В обоих примерах смешанные частные производные и равны. Но, вообще говоря, значения смешанных произ­водных зависят от порядка, в котором производится дифференцирование. Так, например, функция

в точке (0; 0) имеет смешанные частные производные и , но они не равны друг другу. Действительно,

Следовательно,

Проводя аналогичные вычисления, получим . Таким образом,