5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
Во многих задачах приходится отыскивать максимум и минимум функции нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны друг с другом некоторыми добавочными условиями (например, они должны удовлетворять данным уравнениям).
Пример.ый экстремум функции нескольких переменных
нужно сделать закрытую коробку в форме
параллелепипеда, имеющую наибольший
объем.
Решение.
Обозначим длину, ширину и высоту коробки
через
Задача сводится к отысканию максимума
функции
при условии
.
Мы получили задачу на условный экстремум:
переменные
связаны условием
.
Временно оставим эту задачу и рассмотрим
общую схему решения таких задач на
примере функции двух переменных, если
эти переменные связаны одним условием.
Пусть требуется
найти максимум и минимум функции
при условии, что
и
связаны уравнением
.
При наличии последнего условия из двух
переменных
и
независимой будет только одна, например
,
так как
определяется из равенства
как функция
.
Подставляя найденное выражение для
в равенство
,
мы получили бы функцию одной переменной
и свели бы задачу к задаче об исследовании
на максимум и минимум функции одной
независимой переменной
.
Но можно решить
поставленную задачу, не разрешая
уравнение
относительно
или
(это не всегда возможно). При тех значениях
,
при которых функция
может иметь максимум или минимум,
производная
должна обращаться в нуль. Дифференцируя
функцию
как сложную функцию, у которой одна из
промежуточных переменных совпадает с
независимой, получим
.
Следовательно, в точках экстремума имеем
.
(5.23)
Дифференцируя соотношение , получим
.
(5.24)
Умножим члены равенства (5.24) на неопределенный пока коэффициент и сложим их с соответствующими членами (5.23):
.
(5.25)
Равенство (5.25) выполняется во всех точках экстремума. Подберем коэффициент так, чтобы для значений и , соответствующих экстремуму функции , вторая скобка в (5.25) обратилась в нуль:
.
Но тогда при этих значениях и из равенства (5.25) следует равенство
.
То есть, получается, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения:
(5.26)
относительно трех
неизвестных
.
Из этих уравнений определяем координаты
точек экстремума
и величину
,
которая играла вспомогательную роль и
в дальнейшем не потребуется.
Из вывода следует, что уравнения (5.26) являются необходимыми условиями условного экстремума. Не при всех значениях , удовлетворяющих уравнениям (5.26), будет иметь место условный экстремум. В каждой конкретной задаче требуется дополнительное исследование характера критической точки.
Отметим, что левые части уравнений (5.26) являются частными производными функции
(5.27)
по переменным
и
.
То есть, для того, чтобы найти значения
и
,
удовлетворяющие условию
,
при которых функция
может иметь условный экстремум, нужно
составить вспомогательную функцию
(5.27), приравнять нулю ее производные по
и
и из полученных трех уравнений (5.26)
определить искомые
и вспомогательный множитель
.
Продолжение
решения примера. Составим
вспомогательную функцию
.
Найдем ее частные производные и приравняем их нулю
.
(5.28)
Задача сводится к решению системы уравнений (5.28) и (5.29)
.
(5.29)
Умножим первое
уравнение (5.28) на
,
второе – на
,
третье – на
и сложим их
.
С учетом (5.29) получим
или
.
Подставим
в (5.28):
;
;
.
Так как
отличны от нуля (по смыслу задачи), то
;
;
.
Из первых двух
уравнений:
,
из второго и третьего уравнений:
.
Из уравнения (5.29)
получим:
,
.
При этих значениях переменных может
быть максимум или минимум. Можно доказать,
что получаемое решение дает максимум.
То есть, для того, чтобы объем коробки
был наибольшим, эта коробка должна быть
кубом, ребро которого
.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных. Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области и дифференцируема внутри этой области. В этом случае она имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются либо внутри области, либо на ее границе. Если наибольшее или наименьшее значение функция принимает во внутренних точках области , то эти точки, очевидно, являются точками экстремума функции . Однако своего наибольшего и наименьшего значения функция может достигать и на границе области. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной области , нужно найти все внутренние точки, ”подозрительные” на экстремум, вычислить значения функции в них и сравнить со значениями функции в граничных точках области. Наибольшее и наименьшее из этих значений и будет наибольшим и наименьшим значением функции во всей области.
З а м е ч а н и е.
Обычно граница области
может быть разбита на ряд участков,
каждый из которых определяется уравнением
вида
или
.
Вдоль каждого такого участка границы
функция
превращается в функцию одной переменной
x
или
:
или
.
Тогда задача нахождения наибольшего и
наименьшего значений функции
на
границе сводится к задаче отыскания
наибольшего и наименьшего значений
функции одной переменной на отрезках
вида
или
.
Пример 1.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
в области
,
ограниченной прямыми
,
,
(рис. 53).
Решение. Найдем точки возможного экстремума
6
B
0 6
Р
ис.
53
,
.
Так как внутри
треугольника
,
,
то приравнивая
и
нулю, получим:
.
Отсюда:
.
То есть т.
и в ней
.
Рассмотрим границу
:
1) На
и
.
2) На
и
.
3) На
,
.
Найдем наибольшее и наименьшее значение
этой функции на
:
.
Тогда
и
.
Вычислим значение
в этих точках:
,
.
На конце
отрезка
.
Из значений в точках
выбираем наибольшее и наименьшее:
,
.
П
-2 0 2
в области
:
(рис. 54).
Рис. 54
Решение. Найдем точки возможного экстремума
,
.
;
.
На границе:
,
,
и
.
На концах отрезка:
,
,
.
То есть, наибольшее значение в области
функция принимает в точках
,
,
наименьшее – в точках
,
(если
,
то
,
).