10.3. Внезапное расширение трубы

Пусть трубопровод в каком-либо сечении резко расширяется от диаметра d₁ до диаметра d₂ (рис.10.1). Жидкость в этом случае не может плавно обтечь углы и продолжает двигаться свободной струей, постепенно расширяясь, пока не заполнит всего широкого сечения трубы. В кольцеобразном пространстве между потоком и стенкой трубы получаются вихреобразования, которые и являются причиной потерь напора.

Выберем два сечения потока: 1-1 – в плоскости расширения трубы, и 2-2 – в том месте, где поток заполняет все сечение широкой трубы. Вблизи сечений установлены пьезометры, причем второй пьезометр показывает большую высоту, чем первый на ∆h. Это объясняется тем, что при расширения потока скорость уменьшается, а давление возрастает. Если бы между сечениями не было потерь напора, то величина ∆h была бы еще большей.

Рис. 10.1. Внезапное расширение трубы

Обозначим скорость, давление и площадь сечения потока в сечении 1-1 соответственно V₁, P₁, ω₁, а в сечении 2-2 – V₂, P₂, ω₂ и определим величину потерь напора, применяя теорему об изменении количества движения, которая читается так: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

Секундное количество движения, уносимое жидкостью, через сечение 2-2, равно:

,

где Q – расход;

ρ – плотность жидкости.

Вносимое секундное количество движения через сечение 1-1 равно:

.

Изменение количества движения между сечениями 1-1 и 2-2 равно:

,

его следует приравнять к импульсу внешних сил. Рассмотрим, прежде всего, какие внешние силы действуют на объем между сечениями 1-1 и 2-2 и какие из них могут дать импульс. Сила тяжести дает импульс, равный нулю в виду горизонтального расположения трубы. Силами трения в рассматриваемом кольцеобразном пространстве можно пренебречь, т.к. скорости течения жидкости у стен малы. Импульс дают только силы давления, действующие на торцевые сечения 1-1 и 2-2.

Принимая, что давление действует одинаково по всей площади, получим результирующую секундного импульса сил в виде:

.

Приравнивая изменение количества движения и секундный импульс силы давления, получим:

.

Разделив обе части последнего уравнения на γω₂ и заменив Q через произведение V₂ω₂, а также с учетом зависимости получим:

.

Выполним некоторые преобразования:

,

и, группируя члены, получим окончательно:

.

Полученное уравнение есть уравнение Бернулли, написанное для сечений 1-1, 2-2, в котором член - есть потери напора при внезапном расширении трубы:

.

Потеря напора, при внезапном расширении трубы, следовательно, равна напору, соответствующему потерянной при расширении скорости. Это положение часто называют теоремой Борно-Карно. Если учесть уравнение постоянства расхода:

,

то полученный результат можно записать в следующем виде:

.

Таким образом, для случая внезапного расширения трубы коэффициент сопротивления равен:

.

Поскольку отношение изменяется в пределах от 0 до 1, то и коэффициент ε_вн.р. изменяется в тех же пределах. В случае если ω₂ значительно больше ω₁ (например, при подводе трубы к резервуару достаточно больших размеров), коэффициент ε_вн.р.=1. Если же потери напора при внезапном расширении подсчитываются по скорости V₂, то ε_вн.р. определяется по формуле:

,

а потери напора будут равны

.