3.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера)

Дифференциальные уравнения описывают зави­симость массовых и поверхностных сил от координат ка­кой-либо точки в покоящейся жидкости. Для вывода этих уравнений выделим в исследуемой покоящейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy и dz, параллельными осям системы координат x, y, z (рис. 3.3).

Рис. 3.3. К вопросу вывода

уравнений Л. Эйлера

Давление в центре параллелепипеда примем равным Р. На выделенный параллелепипед действуют массовые и поверхностные силы.

Как отмечалось выше, к массовым силам относятся силы, пропорциональные массе жидкости: силы тяжес­ти и силы инерции; к поверхностным силам - силы, дей­ствующие на поверхности параллелепипеда со сторона­ми dx, dy и dz.

Рассмотрим проекции массовой силы на соответству­ющие оси системы координат.

Равнодействующая массовой силы dF по второму за­кону Ньютона равна:

dF = m * a,

где т - масса элементарного параллелепипеда, кг;

m = * dx * dy * dz,

где - плотность жидкости, кг/м³;

dx * dy * dz - объем параллелепипеда, м³;

а - ускорение, м/с².

Обозначим проекции ускорения а на координатные оси соответственно через X, Y и Z.

Проекции массовой силы на оси составят:

по оси х: * dx * dy * dz * C ;

по оси у: * dx * dy * dz * Y ;

по оси z: * dx * dy * dz * Z .

Теперь рассмотрим поверхностные силы, т.е. силы, действующие на поверхности параллелепипеда жидкости. В начале рассмотрим поверхностные силы по оси х. По оси х нас интересуют только две площадки: АВСD и ЕКLМ, имеющие размеры dy * dz. На площадку АВСD действует сила:

Знак « - » показывает, что площадка находится влево от центра параллелепипеда.

На площадку ЕКLМ действует сила:

Знак "+" означает, что площадка находится вправо от центра параллелепипеда; здесь Р - давление в центре параллелепипеда;

P/ x- градиент давления, представляющий собой изменение величины гидростатического давления лишь вдоль одной оси х при неизменных координатах у и z. Поэтому и представлен в виде частной производной;

P/ x- - расстояние от центра параллелепипеда до со­ответствующей рассматриваемой площадки.

dx / 2 – расстояние от центра параллелепипеда до соответствующей рассматриваемой точки.

Проекции поверхностных сил по оси х составляют:

dy * dz * * .

Проецируя все силы (массовые и поверхностные), действующие на элементарный параллелепипед, на ось х при условии равновесия, получим:

*dx*dy*dz*X + dy*dz* -

- dy*dz = 0.

Раскрывая скобки и отнеся к единичному объему параллелепипеда dx*dy*dz , получим:

*X - = 0.

Аналогично рассмотрим условия равновесия в про­екциях на оси у и z и в окончательном варианте полу­чим следующие уравнения:

*X - = 0 ;

*Y - = 0 ;

*Z - = 0,

которые называются дифференциальными уравнениями равновесия жидкости, или уравнениями Эйлера. Они получены впервые членом Российской Академии наук Л. Эйлером в 1755 г.

Уравнения выражают в дифференциальной форме закон распределения гидростатического давления.

Приведем эти уравнения к виду, удобному для ин­тегрирования путем умножения, соответственно, на dх, dу и dz, а затем сложения:

X	-		dx
Y	-		dy
Z	-		dz

X*dх + Y*dу + Z*dz =

=

Так как Р = f(х, у, z), то выражение в скобках в пра­вой стороне уравнения представляет собой полный дифференциал давления dР и, следовательно:

dP = * (X*dx + Y*dy + Z*dz)

есть основное уравнение гидростатики для абсолютно покоящейся жидкости.

Резюме: В изученной теме раскрыто понятие гид­ростатическое давление и его свойства, выведены дифференциальные уравнения Эйлера и основное уравнение гидростатики.

Вопросы для самоконтроля:

1. Расскажите о классификации сил в гидравлике.

2. К какой группе сил относится сила инерции?

3. В каких единицах может измеряться гидростатическое давление?

4. Что такое гидростатическое давление?

5. Назовите основные свойства гидростатического давления.

6. Запишите основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме для абсолютно покоящейся жидкости и поясните величины входящие в него.

4. ПОВЕРХНОСТЬ РАВНОГО ДАВЛЕНИЯ

ЖИДКОСТИ И ЕЕ СВОЙСТВА

4.1. Относительный и абсолютный

покой жидкости

Геометрические места точек, в которых гид­ростатическое давление имеет одинаковое значение, называют поверхностями равного давления или по­верхностями уровня.

На поверхности равного давления Р = соnst, а пол­ный дифференциал давления dР = 0. Следовательно, урав­нение поверхности равного давления легко получить из основного уравнения гидростатики для абсолютно поко­ящейся жидкости:

X*dx + Y*dy + Z*dz = 0.

Поверхность уровня на границе жидкости и газа (обычно атмосфера) называется свободной поверхностью.

Различают покой жидкости: относительный и абсо­лютный.

Относительным покоем (равновесием) жидкости называется ее покой относительно стенок сосуда, дви­жущегося вместе с жидкостью. В относительном по­кое может рассматриваться горючее в баке машины, жидкость в перемещающейся цистерне, вращающем­ся сосуде и т.п.

В абсолютно покоящейся жидкости действующей массовой силой является только сила тяжести.

При относительном покое сюда добавляется массо­вая сила — сила инерции.

Основное уравнение гидростатики:

dР = *( X*dx + Y*dy + Z*dz),

выведенное для абсолютно покоящейся жидкости, имеет полную применимость к относительно покоящейся жид­кости, но под проекциями единичных массовых сил F_x, F_y и F_z следует понимать проекции единичной силы тя­жести и силы инерции:

F_x= 1*X; F_y=1*Y; F_z=1*Z при F=m*a,

где 1 — масса единичная;

X, Y, Z - ускорение массовой силы (проекции на соответ­ствующие оси координат).

Для поверхностей уровня при том же понимании ве­личин 1-Х, 1-Y и 1-Z, применимо ранее выведенное для случая абсолютно покоящейся жидкости уравнение:

X*dx + Y*dy + Z*dz = 0.

Основными вопросами, подлежащими разрешению при рассмотрении различных случаев относительного покоя жидкости, являются нахождение закона распре­деления давления внутри жидкости и построение повер­хностей равного давления.

Рассмотрим наиболее характерные случаи положения уровня свободной поверхности жидкости, находящейся под действием сил тяжести и сил инерции.