15. ТЕОРИЯ ТОНКИХ ПЛАСТИН

15.1. Основные понятия и гипотезы

Пластинкой называется призматическое или цилиндрической тело, высота которого мала по сравнению с размерами в плане (рис. 15.1). Толщина пластинки обозначается h.

Рис. 15.1

Плоскость, делящая пластинку пополам по толщине, называется срединной. Составляющая перемещения w в направлении оси z будет представлять собой прогиб пластинки. Пластинки находят широкое применение в строительстве в виде настилов и панелей, железобетонных плит для покрытия производственных зданий, плит фундаментов массивных зданий. Расчетной схемой плит, применяемых в строительных конструкциях, является тонкая пластинка.

Тонкими называются пластинки, имеющие отношение толщины к наименьшему характерному размеру в плане h/b примерно в пределах 1/5 – 1/80 и величину ожидаемых прогибов не более h/4.

Тонкие пластинки рассчитывают по приближенной теории, которая основана на следующих гипотезах, предложенных немецким физиком Г. Кирхгофом.

1. Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости, остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности после деформирования пластинки, и длина его не изменяется.

82

2.Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости:

всрединной плоскости отсутствуют деформации растяжения, сжатия и сдвига, т.е. она является нейтральной и ее перемеще-

ния u0= v0=0.

3. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости. Гипотеза позво-

ляет пренебрегать напряжением σz ввиду малости по сравнению с напряжениями σx и σy.

15.2. Соотношения между деформациями и перемещениями

Исследуем пластинку, несущую поперечную нагрузку, т.е. нагрузку, нормальную к срединной плоскости пластинки.

Согласно первой гипотезе εz=∂w/∂z=0, откуда следует, что прогибы пластинки w не зависят от координаты z, т.е. w=w(x,y). Это означает, что все точки пластинки, лежащие на одной вертикали, получают одинаковые перемещения. Следовательно, достаточно определить прогибы срединной плоскости пластинки, чтобы знать вертикальные перемещения всех ее точек.

Согласно первой гипотезе, любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости, всегда направлен

вдоль оси z , т.е. сдвиги в плоскостях γyz =γzx=0.

Учитывая последнее равенство и гипотезу недеформируемости срединной плоскости, можно найти перемещения вдоль осей x и y, выраженные через функцию прогибов срединной плоскости пластинки:

u = – z∂w/∂x; v = – z∂w/∂y.

Составляющие деформации пластинки, отличные от нуля, определяются по формулам:

εx=∂u/∂x= –z∂ 2w/∂x2;

εy=∂v/∂y= –z∂ 2w/∂y2; (15.1) γxy=∂u/∂y+∂v/∂x= –2z∂ 2w/∂x∂y.

83

15.3. Напряжения и усилия в пластинке

Для вычисления нормальных напряжений σx и σy воспользуемся законом Гука:

εx=(σx – µσy)/E; εy=(σy – µσx)/E.

Учитывая (15.1), получим выражения для определения напряжений через функцию прогибов срединной плоскости пластинки:

σx= – Ez [∂ 2w/∂x2+µ∂ 2w/∂y2] /(1 – µ2);

σy= – Ez [∂ 2w/∂y2+µ∂ 2w/∂x2] /(1 – µ2).

После подстановки угловой деформации из (15.1) в формулу закона Гука для касательных напряжений получим

τxy=Eγxy/[2(1+µ)]=-Ez/(1+µ)[∂ 2w/∂x∂y].

Касательные напряжения в двух других плоскостях, согласно первой гипотезе, равны нулю. Однако такой результат получен только вследствие принятых ранее гипотез. В действительности эти касательные напряжения не равны нулю, поскольку это противоречит условиям равновесия. Касательные напряжения в плоскостях yz и zx определяются по зависимостям:

τyz=E/2(1-µ2) [(h2/4-z2)∂/∂y 2w]; τzx=E/2(1-µ2) [(h2/4-z2)∂/∂x 2w],

где 2=∂ 2w/∂x2+∂ 2w/∂y 2.

На рис. 15.2 показаны эпюры этих напряжений по толщине пластинки.

Рис. 15.2 84

15.4. Усилия в пластинке

Исследуем, какие усилия соответствуют напряжениям в сечениях пластинки, нормальных к ее срединной плоскости. На рис. 15.3 изображен бесконечно малый элемент пластинки.

Изгибающий момент Mx, приходящийся на единицу длины рассматриваемого сечения и представляющий собой сумму

элементарных моментов σxdz×z:

dx

dy

z

Рис. 15.3

Величина D=Eh3/[12(1-µ2)] называется цилиндрической жесткостью.

85