2.1.5. Линейные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Здесь a(x) и b(x) – известные, непрерывные на [a;b] функции.

Доказано, что если функции a(x) и b(x) непрерывны на [a;b] , то для любой начальной точки (x₀, y₀) , x₀∈ [a; b] , задача Коши

имеет единственное решение y = y(x) на [a;b].

Рассматривают однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка:

Общее решение линейного уравнения 1-го порядка можно найти с помощью замены y(x) = u(x) · v(x) .

Общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

с непрерывными на [a;b] коэффициентами a(x) и b(x), вычисленное методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа), записывается в виде

где C – произвольная постоянная, x₀∈ [a;b], x∈ [a;b].

Пример №1

Найдём общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

и решение задачи Коши

Выполним в уравнении замену y(x) = u(x) · v(x):

Выберем функцию v(x) так, чтобы она удовлетворяла уравнению с разделяющимися переменными v' − v = 0:

Подставив вычисленное значение v(x) в последнее уравнение, имеем:

Для функции u(x) получили уравнение с разделёнными переменными, решение которого легко вычислить:

Выполнив обратную подстановку, получим общее решение уравнения:

На рисунке изображено несколько интегральных кривых уравнения

Итак, найдено общее решение линейного уравнения 1-го порядка

Найдём решение задачи Коши, решение, удовлетворяющее условию

y(1) = 2:

На рисунке изображен график решения задачи Коши – интегральная кривая, проходящая через точку M(1, 2):

Пример №2

Найдём методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа) общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

и решение задачи Коши

Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

Это уравнение – уравнение с разделяющимися переменными, решение которого легко найти:

где C – произвольная постоянная.

Теперь будем искать решение неоднородного линейного уравнения в виде

где C(x) – неизвестная функция. В этом собственно и состоит метод Лагранжа – метод вариации (изменения) произвольной постоянной.

Подставляя выражение для y(x) в исходное неоднородное уравнение, получаем:

где C – произвольная постоянная. Теперь найдём решение задачи Коши:

Таким образом, получено общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

и решение задачи Коши

На рисунке изображены интегральные кривые уравнения (чёрный цвет) и график решения задачи Коши (красная линия).

2.1.6. Уравнения Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение первого порядка вида

Здесь a(x) и b(x) – известные, непрерывные на [a;b] функции, n > 1.

Заменой z(x) = y^1-n(x) уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению относительно функции z(x):

Получили линейное относительно z(x) уравнение:

Пример №1

Уравнение Бернулли

заменой z(x) = y⁻³(x) при y ≠ 0 сводится к линейному уравнению относительно функции z(x):

Линейное уравнение

решим методом Лагранжа (вариацией произвольной постоянной):

Выполнив обратную подстановку z(x) = y⁻³(x), получим при y ≠ 0 общий интеграл исходного уравнения:

Не следует забывать, что y = 0 – ещё одно решение уравнения.