3.1.4. Уравнения с однородной правой частью

Если правая часть уравнения

F(x, y, y ',..., y⁽ⁿ⁾) = 0,

удовлетворяет условию однородности

F(x, ty, ty ',..., ty⁽ⁿ⁾ ) = t^k F(x, y, y ',..., y⁽ⁿ⁾ )

то говорят, что это уравнение, однородное относительно неизвестной функции и всех ее производных.

Если в результате каких-либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ',..., y⁽ⁿ⁾) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, однородные относительно неизвестной функции и всех ее производных.

Порядок такого уравнения можно понизить заменой

Выражение для первой производной от y(x) не содержит производной от z(x):

Поэтому, заменив в исходном уравнении y, y ',..., y⁽ⁿ⁾ их выражениями через z(x), получим относительно z(x) дифференциальное уравнение на единицу меньшего порядка.

Рассмотрим, например, уравнение третьего порядка, однородное относительно неизвестной функции и всех ее производных:

F(x, y, y', y'', y''') = 0,

F(x, y, y', y'', y''') = t^k F(x, y, y', y'', y''').

Посмотрим, как прядок такого уравнения можно понизить до второго, используя замену

Выразим y', y'', y''' через z(x):

Произведя замену, получим дифференциальное уравнение второго порядка:

В итоге получено дифференциальное уравнение второго порядка относительно z(x):

Φ(x, z, z', z'') = 0.

Пример №1

Решим обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

yy'+ x(y')² + xyy'' = 0.

Легко видеть, что это уравнение, однородно относительно неизвестной функции и всех ее производных:

(ty)(ty')+ x((ty'))² + x(ty)(ty'') = t² (yy'+ x(y')² + xyy'')

Используем стандартную для таких уравнений замену

Выполним замену:

Получили уравнение первого порядка

Это уравнение Бернулли, которое интегрируется стандартным для уравнений Бернулли способом.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка

3.2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Введение

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n -1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

Коэффициенты уравнения a_n-1(x), a_n-2(x), ..., a₁(x), a₀(x) и правую часть f(x) полагаем непрерывными на отрезке [a;b] .

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^(n-1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x)

– неоднородное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка,

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^(n-1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0

– однородное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка,

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n-го порядка:

L(y) ≡ y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^(n-1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y.

L(y) = 0 и L(y) = f(x) – соответственно однородное и неоднородное уравнения в операторной записи.

При изучении линейных дифференциальных уравнений используются пространства C[a;b] – пространство непрерывных на отрезке [a;b] функций, и C_k [a;b] – пространство функций, непрерывных на [a;b] , вместе со своими производными до k-го порядка включительно.