3.3.4. Линейная независимость решений линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^(n-1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Справедливо следующее необходимое и достаточное условие линейной независимости решений этого уравнения.

Решения y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейного однородного дифференциального уравнения линейно независимы на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих функций W(x ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [a; b] .

Для определителя Вронского W(x ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на [a; b] коэффициентами, справедлива формула Остроградского-Лиувилля:

Из формулы Остроградского-Лиувилля, в частности, следует:

− если W(x₀ ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) = 0, x₀∈[a, b], то W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0 на [a, b];

− если же W(x₀ ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≠ 0, x₀∈[a, b], то W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≠0 на [a, b].

3.4. Структура решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

3.4.1. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^(n-1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Фундаментальной системой решений однородного линейного дифференциального уравнения называется упорядоченный набор из n линейно независимых решений уравнения.

Иными словами любые n линейно независимых решений y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) уравнения y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^(n-1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0 образуют фундаментальную систему решений.

Доказано, что у однородного линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами существует фундаментальная система решений.

Пусть задана некоторая линейно независимая система n векторов из Rⁿ:

И пусть функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) – решения линейного однородного уравнения с начальными условиями:

Функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения.

Пример №1

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами

легко убедиться, что функция y₁(x) = ln x является решением на (e, ∞) задачи Коши:

а функция y₂(x) = x является решением на (e, ∞) задачи Коши:

Эти функции линейно независимы на (e, ∞) , поскольку их определитель Вронского отличен от нуля:

Отсюда следует, что функции y₁(x) = ln x , y₂(x) = x образуют фундаментальную систему решений исследуемого уравнения.

3.4.2. Структура общего решения линейного однородного уравнения

Рассмотрим на [a;b] линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x) y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ), зависящая от n произвольных постоянных C₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y₁₀ ,..., y_{n − 10} ) , x₀∈ [a;b] , существуют такие значения C₁ =C₁₀ , ..., C_n = C_n0 , что функция y = Φ(x, C₁₀ , ..., C_n0) удовлетворяет начальным условиям

y(x₀) = y₀,

y '(x₀) = y₁₀,

............................,

y^{(n − 1)} (x₀) = y_{n− 10}.

Справедливо следующее утверждение (теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнения непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C_n) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + ... + C_n y_n(x),

где C₁,...,C_n − произвольные постоянные.

Пример №1

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами

фундаментальную систему решений которого образуют функции y₁(x) = ln x , y₂(x) = x.

Общим решением уравнения является функция

y(x, C₁, C₂) = C₁ln x + C₂x.