4.4.3. Автономные системы дифференциальных уравнений

4.4.3.1. Автономные системы. Основные понятия

Автономной системой дифференциальных уравнений n-го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде

В векторной форме автономная система имеет вид x' = F(x) (не зависит от t), где

Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x' зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.

Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:

Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть x = φ(t) − решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b]. Множество точек x = φ(t) , t ∈ [a;b] − кривая в пространстве R_xⁿ. Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство R_xⁿ, в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы.

Точка a называется положением равновесия (точкой покоя) автономной системы, если F(a) = 0 .

Равенство x = φ(t) , t ∈ [a, b] − параметрические уравнения фазовой траектории.

Интегральная кривая системы изображается в (n + 1)-мерном пространстве R_{x, t}ⁿ⁺¹ и может быть определена уравнениями

Ясно, что соответствующая фазовая траектория − проекция интегральной кривой на пространство R_x.

На рисунке приведено изображение интегральной кривой автономной системы и соответствующей фазовой траектории.

Пример №1

Построим интегральную кривую и фазовую траекторию решения задачи Коши

Задачу решим методом исключения:

Решим задачи Коши для полученного линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами x₁'' + 3x₁ = 0:

Имеем:

Соответствующая интегральная кривая определяется и пространстве R_x1,x2,t³ уравнениями

Фазовая кривая, которая является проекцией интегральной кривой на пространство R_x1,x2², определяется уравнениями

На рисунке приведены изображения интегральной кривой (слева) и соответствующей фазовой кривой (справа).

4.4.3.2. Свойства фазовых траекторий

Рассмотрим автономную систему x' = F(x) с непрерывно дифференцируемой правой частью.

Уравнение x = φ(t) − t ∈ [a, b] − параметрическое уравнение фазовой траектории системы.

Важнейшим свойством решений автономных систем является следующее:

если вектор-функция x = φ(t) − решение автономной системы, то при любой постоянной C вектор-функция x = φ(t + C) тоже является решением системы.

Свойства фазовых траекторий:

1. Две фазовые траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Это свойство фазовых траекторий означает, что фазовое пространство "расслаивается" на непересекающиеся фазовые траектории.

2. Если a − точка равновесия автономной системы, то x = a − фазовая траектория системы. Положение равновесия называют точкой покоя автономной системы.

3. Фазовая траектория, отличная от точки − гладкая кривая (в каждой точке этой кривой существует ненулевой касательный вектор).

4. Пусть x(t; x(0)) − решение задачи Коши x' = F(x), x(0) = x⁽⁰⁾ . Тогда

x( t₁ + t₂ ; x⁽⁰⁾) = x( t₂ ; x( t₁ ; x⁽⁰⁾ ) = x( t₁ ; x( t₂ ; x⁽⁰⁾) и x( − t ; x(t ; x⁽⁰⁾)) = x⁽⁰⁾.

Полную информацию о свойствах решений системы дают интегральные кривые. Однако во многих приложениях достаточно информации, которую дают фазовые траектории.

Более того, некоторые свойства решений ярче проявляются при исследовании фазовых траекторий (фазового пространства системы).