3.3. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций

3.3.1. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b] , если существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_n, не равные нулю одновременно и такие, что

α₁y₁(x) + α₂y₂(x) + ... + α_ny_n(x) = 0

для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке.

Очевидны следующие утверждения.

• Если среди функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.

• Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_k(x) линейно зависимы, то при любых y_{k + 1}(x), y_{k + 2}(x), ..., y_n (x) функции y₁(x), y₂(x), ..., y_k(x), y_{k + 1}(x), ..., yn(x) также линейно зависимы.

• Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] , то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a;b] .

• Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно независимы на [a;b] , то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b] (если, они определены на этом отрезке).

Вектор-функции Y₁(x), Y₂(x), ..., Y_n(x),

называются линейно зависимыми на отрезке [a;b] , если существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_n , не равные нулю одновременно и такие, что

α₁Y₁(x) + α₂Y2(x) + ... + α_nY_n(x) = 0

для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции Y₁(x),Y₂(x), ..., Y_n(x) называются линейно независимыми.

Пример №1

Докажем линейную независимость на всей числовой оси функций 1, x, x²,..., xⁿ.

Допустим противное, т.е. допустим, что существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_n+1 , не равные нулю одновременно и такие, что для всех x справедливо

α₁·1 + α₂·x + ... + α_n+1·xⁿ = 0.

Последнее равенство для всех x возможно тогда и только тогда, когда многочлен α₁·1 + α₂·x + ... + α_n+1·xⁿ тожественно равен нулю, т.е. тогда и только тогда, когда

α₁= α₂= ... = α_n+1= 0.

Это последнее равенство противоречит предположению что постоянные α₁, α₂, ..., α_n+1 , не равны нулю одновременно. Утверждение доказано.

Пример №2

Докажем линейную зависимость на всей числовой оси функций sin²x, cos²x, 1.

Поскольку

sin²x + cos²x = 1, то

sin²x + cos²x − 1 = 0, т.е.

1·sin²x + 1·cos²x + (− 1)·1 = 0,

коэффициенты линейной комбинации не равны нулю, и, следовательно, функции sin²x, cos²x, 1 линейно зависимы. Утверждение доказано.

Пример №3

Докажем линейную независимость на всей числовой оси функций

Докажем утверждение по индукции.

Пусть утверждение справедливо для k = 1:

Предположим теперь, что линейная независимость доказана для k − 1 функций

А для k функций

допустим противное, т.е. допустим, что существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_k , не равные нулю одновременно и такие, что для всех x справедливо

Разделим обе части равенства на exp(λ_kx)

и продифференцируем последнее тождество по x:

Но входящие в равенство k − 1 функции по нашему индуктивному предположению линейно независимы и λ_i − λ_k ≠ 0. Следовательно, последнее равенство возможно, только если все, входящие в него коэффициенты равны нулю:

α₁= α₂= ... = α_{k− 1}= 0.

Но тогда

и

α₁= α₂= ... = α_k= 0.

Получили противоречие (предполагалось, что не все коэффициенты равны нулю). Это противоречие доказывает линейную независимость k функций. А отсюда, в свою очередь, по индукции следует линейная независимость всей исследуемой системы функций.