4.4.1.4. Структура общего решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим неоднородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

Здесь

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой неоднородной линейной системы ОДУ.

Если матрица A(x) и вектор-функция b(x) непрерывны на [a;b], и пусть Φ(x) − фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A(x)Y, то общее решение неоднородной системы Y' = A(x)Y + b(x) имеет вид:

где C − произвольный постоянный вектор-столбец, x₀ − произвольная фиксированная точка из отрезка [a;b].

Из приведенной формулы легко получить формулу решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ − формулу Коши.

Решением задачи Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x₀) = Y₀ является вектор-функция

Пример №1

Рассмотрим линейную неоднородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений 2-гопорядка:

которую удобнее записать в векторной форме:

Фундаментальная матрица решений соответствующей однородной системы Y' = A·Y имеет вид:

Найдём общее решение неоднородной системы, опираясь на утверждение теоремы о структуре общего решения для таких систем:

Итак, получено выражение для общего решения заданной неоднородной системы:

Проверим:

Пример №2

Найдём решение задачи Коши для линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка:

В векторной форме:

Фундаментальная матрица решений соответствующей однородной системы Y' = A·Y имеет вид:

Найдём общее решение неоднородной системы, опираясь на формулу Коши:

Итак, получено выражение для общего решения заданной неоднородной системы:

Проверим:

4.4.1.5. Построение фундаментальной матрицы решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом Эйлера

Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами:

Справедлива следующая теорема о фундаментальной матрице решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (метод Эйлера): Пусть матрица A имеет n различных собственных значений λ₁≠λ₂≠...≠λ_n≠ и пусть e₁, e₂,..., e_n − соответствующие собственные векторы:

Тогда фундаментальная матрица решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами

Y '= A·Y имеет вид:

Заметим, что общее решение неоднородной системы с постоянными коэффициентами в этом случае можно записать в виде:

Пример №1

Построим фундаментальную матрицу решений и общее решение линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-гопорядка:

которую удобнее записать в векторной форме:

Найдём собственные значения и собственные векторы матрицы системы:

Тогда фундаментальная матрица системы:

Легко, также, записать общее решение системы:

Правильность решения легко проверить подстановкой в исходную систему.