3.4.3. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ), зависящая от n произвольных постоянных C₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям:

− при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y₁₀ ,..., y_{n − 10} ) , x₀∈ [a;b] , существуют такие значения C₁ =C₁₀ , ..., C_n = C_n0 , что функция y = Φ(x,C₁₀ , ..., C_n0) удовлетворяет начальным условиям

y(x₀) = y₀,

y '(x₀) = y₁₀,

..................,

y⁽ⁿ⁻¹⁾ (x₀) = y_{n− 10}.

Справедливо следующее утверждение (теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнения непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C_n) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + ... + C_n y_n(x) + y*(x),

где C₁,...,C_n − произвольные постоянные, y*(x) − частное решение неоднородного уравнения.

Пример №1

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами и непрерывной правой частью

частным решением которого является функция

Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y₁(x) = ln x , y₂(x) = x.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

3.4.4. Метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения

Задача состоит в вычислении какого-либо частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами и непрерывной правой частью.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^(n-1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

с нерерывными на [a;b] коэффициентами и непрерывной правой частью.

Предположим, что известна фундаментальная система y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) решений соответствующего однородного уравнения

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^(n-1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

y*(x) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) + ... + C_n(x) y_n(x) ,

где C₁(x), C₂(x) , ... , C_n(x) − неизвестные, n раз дифференцируемые на [a;b] функции. Их называют варьируемые постоянные общего решения однородного уравнения.

Справедливо следующее утверждение.

Пусть y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) − фундаментальная система решений однородного уравнения

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^(n-1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0

с непрерывными на отрезке [a;b] коэффициентами. Если правая часть f(x) неоднородного уравнения

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^(n-1) + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x)

непрерывна на [a;b], то его частное решение можно искать в виде

y*(x) = y(x,C₁,...,C_n) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) + ... + C_n(x) y_n(x) .

Неизвестные функции C₁(x), C₂(x) , ... , C_n(x) находятся из системы

Такой метод отыскания частного решения неоднородного уравнения называется методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.

Посмотрим как можно найти методом Лагранжа частное решение для уравнения 2-го порядка y'' + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x) с непрерывными коэффициентами и непрерывной правой частью.

Предположим, что известна фундаментальная система y1(x), y2(x) решений соответствующего однородного уравнения y'' + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

y*(x) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x),

где C₁(x), C₂(x) – такие неизвестные, дважды дифференцируемые на [a;b] функции.

Для того чтобы подставить функцию y*(x) в исходное уравнение, найдём сначала первую производную y*(x):

(y*(x))' = C₁'(x) y₁(x) + C₁(x) y₁'(x) + C₂'(x) y₂(x) + C₂(x) y₂'(x).

Будем искать C₁(x), C₂(x) такими, чтобы C₁'(x) y₁(x) + C₂'(x) y₂(x) = 0 и, следовательно,

(y*(x))' = C₁(x) y₁'(x) + C₂(x) y₂'(x).

Тогда

(y*(x))'' = C₁'(x) y₁'(x) + C₁(x) y₁''(x) + C₂'(x) y₂'(x) + C₂(x) y₂''(x).

Подставим выражения для производных в уравнение:

y'' + a₁(x)y' + a₀(x)y ≡ C₁'(x) y₁'(x) + C₁(x) y₁''(x) + C₂'(x) y₂'(x) + C₂(x) y₂''(x) + a₁(x)(C₁(x) y₁'(x) + C₂(x) y₂'(x)) + a₀(x)(C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x)) = f(x).

После простых преобразований имеем:

C₁(x)(y₁'' + a₁(x)y₁' + a₀(x)y₁) + C₂(x)(y₂'' + a₁(x)y₂' + a₀(x)y₂) + C₁'(x) y₁'(x) + C₂'(x) y₂'(x) = =f(x).

Но поскольку y₁(x), y₂(x) – решения однородного уравнения y'' + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0, то

C₁'(x) y₁'(x) + C₂'(x) y₂'(x) = f(x).

Для неизвестных функций C₁(x), C₂(x) получили систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

Определитель этой линейной относительно C₁'(x), C₂'(x) системы – это отличный от нуля на [a;b] вронскиан фундаментальной системы решений.

Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно выписать в явном виде (имеем два дифференциальных уравнения первого порядка):

Эти дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными легко интегрируются:

Неизвестные варьируемые постоянные найдены – найдено частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка.

Пример №1

Найдём методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных) частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами и непрерывной правой частью.

Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y₁(x) = ln x , y₂(x) = x.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде y*(x) = C₁(x) lnx + C₂(x) x:

Подставим выражения для производных в уравнение:

Для неизвестных функций C₁(x), C₂(x) получили систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

Окуда имеем:

И тогда частным решением исходного уравнения второго порядка является функция y*(x) = C₁(x) lnx + C₂(x) x: